循环码生成矩阵与监督 (校验) 矩阵

timerring
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循环码生成多项式与生成矩阵

定义：记 C(x)\mathrm{C}(x) 为 (n, k) 循环码的所有码字对应的多项式的集合, 若 g(x) 是 C(x)\mathrm{C}(x) 中除 0 多项式以外次数最低的多项式, 则称 g(x) 为这个循环码的生成多项式。

定理1: (n,k)(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k}) 循环码中, 必定存在一个次数最小的唯一的码多项式g(x) , 称为生成多项式,

g(x)=xr+gr−1xr−1+⋯+g1x+1g(x)=x^{r}+g_{r-1} x^{r-1}+\cdots+g_{1} x+1

其中: r=n−kr=n-k .

该码集中任意码字的码多项式必为g(x)的倍式。

非系统循环码的编码:

c(x)=u(x)g(x)c(x)=u(x) g(x)

设某 (7,4) 循环码的生成多项式为g(x)=x3+x+1g(x)=x^{3}+x+1，问信息串 0110 的循环码是什么?

解:

c(x)=u(x)g(x)=(x2+x)(x3+x+1)=x5+x4+x3+xc(x)=u(x) g(x)=(x^{2}+x)(x^{3}+x+1)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x

故码字为: 0111010

定理2: 当且仅当 g(x) 是 xn+1x^{n+1} 的 r=n−kr=n-k 次因式时, g(x)是(n, k)循环码的生成多项式。

定理3: (n, k) 循环码的校验多项式为

h(x)=xn+1g(x)=hkxk+hk−1xk−1+⋯+h1x+h0\begin{array}{l} h(x)=\frac{x^{n}+1}{g(x)} \\ =h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\cdots+h_{1} x+h_{0} \end{array}

写出下面(7,3)循环码的生成多项式

g(x)=x4+x3+x2+1arrow0011101g(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+1 arrow 0011101

(1) 生成多项式、生成矩阵

循环码生成多项式的特点:

  • g(x) 的 0 次项是 1 ;
  • g(x) 唯一确定, 即它是码多项式中除 0 多项式以外次数最低的多项式;
  • 循环码每一码多项式都是 g(x) 的倍式, 且每一个小于等于 (n-1) 次的 g(x) 倍式一定是码多项式;
  • g(x) 的次数为 (n-k) ;
  • g(x) 是 xn+1x^{n}+1 的一个因子。

为了保证构成的生成矩阵 G 的各行线性不相关, 通常用生成多项式 g(x) 来构造生成矩阵; 若码多项式为降幂排列,

g(x)=gn−kxn−k+gn−k−1xn−k−1+⋯+g1x+g0,r=n−kC(x)=uG(x)=(uk−1uk−2⋯u0)G(x)=uk−1xk−1g(x)+uk−2xk−2g(x)+⋯+u0g(x)G(x)=[xk−1g(x)xk−2g(x)⋮g(x)]rightarrowG=[grgr−1⋯g1g000⋯00grgr−1⋯g1g00⋯0⋮⋮0⋯00grgr−1⋯g1g0]\begin{array}{l} g(x)=g_{n-k} x^{n-k}+g_{n-k-1} x^{n-k-1}+\cdots+g_{1} x+g_{0}, r=n-k \\ C(x)=\mathbf{u G}(x)=(u_{k-1} u_{k-2} \cdots u_{0}) \mathbf{G}(x) \\ =u_{k-1} x^{k-1} g(x)+u_{k-2} x^{k-2} g(x)+\cdots+u_{0} g(x) \\ G(x)=[\begin{array}{c} x^{k-1} g(x) \\ x^{k-2} g(x) \\ \vdots \\ g(x) \end{array}] rightarrow G=[\begin{array}{ccccccccc} g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} & 0 & \cdots & 0 \\ & \vdots & & & & & \vdots & & \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & g_{r} & g_{r-1} & \cdots & g_{1} & g_{0} \end{array}] \\ \end{array}

显然, 上式不符合 G=(Ik:Q)\mathbf{G}=(\mathbf{I}_{k}: \mathbf{Q}) 形式, 所以此生成矩阵不是典型形式。

系统码生成矩阵的构造

系统码-信息位在码字高位, 因此编码时需要先将信息位置于码字高位, 即 u(x) \bullet x^{n-k} 。 码字低位为校验位，如何获得?

c(x) mod g(x)=0c(x)=u(x)⋅xn−k+r(x)0={[u(x)xn−k] mod g(x)+r(x)}=r(x)[u(x)xn−k] mod g(x)\begin{array}{c} c(x)_{\bmod g(x)}=0 \\ c(x)=u(x) \cdot x^{n-k}+r(x) \\ \mathbf{0}=\{[u(x) x^{n-k}]_{\bmod g(x)}+r(x)\} \end{array} \quad \stackrel{r(x)}{=}[u(x) x^{n-k}] \bmod g(x)

(2) 系统循环码

系统循环码的编码:

a. 选择一信息码多项式 μ(x)\mu(x) , 使 r(x)=xn−kμ(x) mod g(x)\quad r(x)=x^{n-k} \mu(x) \bmod g(x)

b. 产生系统循环码式c(x)=xn−kμ(x)+r(x)\mathrm{c}(x)=x^{n-k} \mu(x)+r(x)

有一 (15, 11) 汉明循环码, 其生成多项式 g(x)=x4+x+1g(x)=x^{4}+x+1 , 若输入信息分组为 (10010010010), 求出 (15,11) 系统循环码字。

解: u(x)=x10+x7+x4+xu(x)=x^{10}+x^{7}+x^{4}+x

xn−ku(x)=x4u(x)=x14+x11+x8+x5r(x)=[x4u(x)] mod g(x)=x2∴c(x)=x14+x11+x8+x5+x2c=10010010010(0100)监督位\begin{array}{l} x^{n-k} u(x)=x^{4} u(x)=x^{14}+x^{11}+x^{8}+x^{5} \\ r(x)=[x^{4} u(x)] \bmod g(x)=x^{2} \\ \therefore c(x)=x^{14}+x^{11}+x^{8}+x^{5}+x^{2} \\ c=10010010010(0100)监督位 \end{array}

非系统码: c(x)=u(x)g(x)=x14+x10+x7+x4+x2+xc(x)=u(x) g(x)=x^{14}+x^{10}+x^{7}+x^{4}+x^{2}+x c=1000100100101100

已知某循环码生成多项式为g(x)=x8+x6+x4+x2+1g(x)=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1，那么采用此多项式生成循环码时，校验位有 [8] 位。

已知某循环码生成多项式为g(x)=x8+x6+x4+x2+1g(x)=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1，证明该多项式是x10+1x^{10}+1的一个因式。 直接长除即可，这里不多赘述。

请写出生成多项式为g(x)=x8+x6+x4+x2+1g(x)=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1的系统型循环码 (10 ，2) 的码表。并说明该码至少能纠几位错。

dmin⁡d_{\min }=5, 能纠2位错

系统码的循环码生成矩阵

G(x)=[xn−1+(xn−1) mod g(x)xn−2+(xn−2) mod g(x)⋮xn−i+(xn−i) mod g(x)⋮g(x)]=[10⋯0r1,1r1,2⋯r1,n−k01⋯0r2,1r2,2⋯r2,n−k⋮⋮⋮⋮⋮⋮00⋯1rk,1rk,2⋯rk,n−k]G(x)=[\begin{array}{c} x^{n-1}+(x^{n-1})_{\bmod g(x)} \\ x^{n-2}+(x^{n-2})_{\bmod g(x)} \\ \vdots \\ x^{n-i}+(x^{n-i})_{\bmod g(x)} \\ \vdots \\ g(x) \end{array}]=[\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & r_{1,1} & r_{1,2} & \cdots & r_{1, n-k} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & r_{2,1} & r_{2,2} & \cdots & r_{2, n-k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & r_{k, 1} & r_{k, 2} & \cdots & r_{k, n-k} \end{array}]

某 (7,4) 循环码的生成多项式是 g(x)=x3+x+1g(x)=x^{3}+x+1 , 求系统码的生成矩阵。

解：

(x6) mod g(x)=x2+1(x5) mod g(x)=x2+x+1(x4) mod g(x)=x2+xarrowG=[1000101010011100101100001011]\begin{array}{l} (x^{6}) \bmod g(x)=x^{2}+1 \\ (x^{5}) \bmod g(x)=x^{2}+x+1 \\ (x^{4}) \bmod g(x)=x^{2}+x \end{array} \quad arrow G=[\begin{array}{lllllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}]

循环码的监督 (校验) 矩阵

关系: GHT=0\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}^{T}=\mathbf{0} 。

a. 监督矩阵构造：由性质 xn+1=g(x)h(x)x^{n}+1=g(x) h(x) ;

h(x)=hkxk+hk−1xk−1+…+h1x+h0H=[h0h1⋯hk0⋯00h0h1⋯hk⋯0⋮⋮00⋯h0h1⋯hk]\begin{array}{l} h(x)=h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\ldots+h_{1} x+h_{0} \\ H=[\begin{array}{ccccccc} h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} & \cdots & 0 \\ & \vdots & & & & \vdots & \\ 0 & 0 & \cdots & h_{0} & h_{1} & \cdots & h_{k} \end{array}] \\ \end{array}

b. 利用循环码的特点来确定监督矩阵 H :

由于 (n, k) 循环码中 g(x) 是 xn+1x^{n+1} 的因式, 因此可令: h(x)=xn+1g(x)=hkxk+hk−1xk−1+⋯+h1x+h0h(x)=\frac{x^{n}+1}{g(x)}=h_{k} x^{k}+h_{k-1} x^{k-1}+\cdots+h_{1} x+h_{0} 监督矩阵表示为:

H(x)=[xn−k−1h∗(x)xn−k−2h∗(x)⋮xh∗(x)h∗(x)]H(x)=[\begin{array}{c} x^{n-k-1} h^{*}(x) \\ x^{n-k-2} h^{*}(x) \\ \vdots \\ x h^{*}(x) \\ h^{*}(x) \end{array}]
h∗(x)=h0xk+h1xk−1+h2xk−2+⋯+hk−1xh^{*}(x)=h_{0} x^{k}+h_{1} x^{k-1}+h_{2} x^{k-2}+\cdots+h_{k-1} x

参考文献：

  1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
  2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
  3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
  4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.
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