算法分析

线性时间选择

问题描述

　　在某个序列中找到第k小的数

算法分析

　　基于快速排序思想，取出序列中一个元素m，将序列划分为两个子序列A、B，A序列中的元素均小于等于m，B中元素均大于m，当k大于A的长度时，选择B作为子问题序列，k=k-A.length，否则A作为子问题序列。确定子问题序列后。判断子序列长度若为1，则找到目标值，否则重复最开始的划分操作。

　　该算法的关键在于取哪个元素作为m，如果随机取的话，最坏情况下的时间复杂度为$O(n^2)$,需要选择一个取值方法(线性时间O(n))，使得每个子问题的规模都会缩小父问题的一定倍数，比如父问题的规模是n，子问题的规模为0.75n。如果取出的m值可以满足此要求就可以得到以下递归方程：$T(n)≤kT(n/b)+O(n)$，此时$T(n)=O(n)$

问题案例

• 在长度为n的序列s中，找到最接近中位数的k个数，要求$T(n)=O(n)$

  思路

  1. 使用线性时间选择找到s中的中位数m-----------------O(n)
  2. 求出所有元素与ｍ的差值，$D[i]=|s[i]-m|$------O(n)
  3. 利用线性时间选择找到在D中第k-1小的数设为j-------O(n)
  4. 输出s[i],其中i满足：D[i]≤D[j]---------------------------O(n)