P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题

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题目描述

有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积。 现在从 n 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。

输入格式

第一行共一个整数 V，表示箱子容量。 第二行共一个整数 n，表示物品总数。 接下来 n 行，每行有一个正整数，表示第 i 个物品的体积。

输出格式

• 共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。

输入输出样例

输入 #1

24
6
8
3
12
7
9
7

输出 #1

0

说明/提示

对于 100% 数据，满足 $0<n<30$ $1≤V≤20000$。

解题思路

很明显的动态规划算法，类似于0-1背包，每个物品选或不选，0-1背包是选出最大的价值，而这道题是让我们求出背包能剩下的空间的最小值（尽可能填满）。
最重要的状态转移方程如下：
二维 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i-1][j-a[i]] + a[i]);
一维f[j]=f[j-w[i]]+w[i];

AC代码

二维

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
//#define int long long
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;

const int N =20005;
int f[N][N],a[35];

int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int v, n;
cin >> v >> n;
memset(f, 0, sizeof(0));
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a\[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= v; j++)
        {
            if (a[i] > j) f[i][j] = f[i - 1][j];
            else    f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i-1][j-a[i]] + a[i]);
        }
    }
    cout << v - f[n][v];
    return 0;

}

一维

    int m,n;            
    int f[20010];
    int w[40];
    int i,j;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=m;j>=w[i];j--){                            
            if(f[j]<f[j-w[i]]+w[i]){
                f[j]=f[j-w[i]]+w[i];
            }
        }
    }
    cout<<m-f[m];