Ela's Fitness and the Luxury Number（数学推导）Problem - B - Codef

题目描述

题目给出 $t(1\le t\le 10000)$ 个测试用例，每个测试用例包括两个数 $l,r(1\le l\le r\le 1e^{18})$ 。对于每个用例，要求输出 $l\sim r$ 中满足 $x\%\sqrt{x}==0$ 的数 $x$ 的个数，数 $x$ 的开根需要进行下取整操作。

输入样例

5
8 19
8 20
119 121
1 100000000000000000
1234567891011 1000000000000000000

输出样例

题目分析

我认为这是一道有趣的 数学推导题。

首先我们对任意一个数 $x$ 进行打表分析。

若 $\sqrt{x}==1$ ，则 $x$ 的取值范围为 $1\le x\le 3$ ；

若 $\sqrt{x}==2$ ，则 $x$ 的取值范围为 $4\le x\le 8$ ；

若 $\sqrt{x}==3$ ，则 $x$ 的取值范围为 $9\le x\le 15$

$\cdots$

于是我们可以找到规律：

若 $\sqrt{x}==y$ ，则 $y\cdot y\le x\le (y+1)(y+1)-1$ 。

我们对这一区间范围的数进行分析，发现对于每个 $x$ 的区间，满足 $x\%\sqrt{x}$ 的数有且仅有 $3$ 个。在这里，我们做以下证明，对于区间 $[y\cdot y,\; (y+1)(y+1)-1]$ ，我们发现 $(y+1)(y+1)-1=y(y+2)$ ，由此可以推出满足条件的数只有 $y\cdot y,\; y\cdot (y+1),\; y\cdot (y+2)$ 这三个数，由此得证。

于是，对于某个数 $x$ ，我们以 $\sqrt{x}$ 作为编号，若区间满足覆盖当前编号对应的区间，则对答案的贡献为 $3$ ，对于所给区间范围 $l,r$ ，我们只需要判断区间的左右边界所处的编号，其之间的贡献可以直接加和，在对边界进行特判即可。

另外需要注意， $sqrt()$ 函数中传递的参数为 $double$ ，对于题目数据范围会有精度丢失的问题，要用手写的开根函数。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

int sqrtx(int n)
{
    int x = sqrt(n) + 0.5;
    while (x * x > n) x --;
    return x;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int t; cin >> t;
    while (t --)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        int x = sqrtx(l), y = sqrtx(r);
        int res = 3 * (y - x);
        res -= (l - x * x + x - 1) / x;
        res += (r - y * y + y) / y;
        cout << res << "\n";
    }
    return 0;
}