一个机器人位于一个m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
示例：
输入： m = 3, n = 7
输出： 28
题解：
/**
* @description: 深度优先 TC:O(2^n) SC:O(1)
* @author: JunLiangWang
* @param {*} m 给定纵坐标边界
* @param {*} n 给定横坐标边界
* @return {*}
*/
function dfs(m,n){
/**
* 该方案使用深度优先遍历的方式，使用递归模拟机器人行进过程
*/
// 记录路径数量
let pathCount=0;
/**
* @description: 递归回溯算法
* @author: JunLiangWang
* @param {*} x 当前机器人X坐标
* @param {*} y 当前机器人Y坐标
* @return {*}
*/
function recursionBacktracking(x,y){
// 当机器人到达终点
if(x===n&&y===m)
{
// 路径数量加1
pathCount++;
return ;
}
// 如果未达到终点
// 如果并未达到横坐标边界，则x+1继续递归
if(x<n)recursionBacktracking(x+1,y);
// 如果并未达到纵坐标边界，则y+1继续递归
if(y<m)recursionBacktracking(x,y+1);
}
// 执行递归回溯，开始坐标为(1,1)
recursionBacktracking(1,1)
// 返回结果
return pathCount;
}
/**
* @description: 动态规划 TC:O(n^2) SC:O(n^2)
* @author: JunLiangWang
* @param {*} m 给定纵坐标边界
* @param {*} n 给定横坐标边界
* @return {*}
*/
function dp(m,n){
/**
* 该方案使用动态规划的方式，定义一个(m+1)*(n+1)的矩阵(DPArray)，其中矩阵的
* 某一个元素，例如DPArray[i][j]表示到达(j,i)总共有多少条路径，已知
* 机器人只能向下/向右移动，因此到达(j,i)有多少条路径就等于到达上一格
* 即(j-1,i)与到达左一格即(j,i-1)的路径数量之和，公式则为：
* DPArray[i][j]=DPArray[i-1][j]+DPArray[i][j-1]，之所以是定义(m+1)*(n+1)的
* 矩阵就是方便该处获取到DPArray[i-1][j]与DPArray[i][j-1]的值，
* 最终DPArray最后一个元素则为达到终点的总数量
*
*/
// 定义一个(m+1)*(n+1)的矩阵
let DPArray=new Array(m+1).fill(0).map(()=>new Array(n+1).fill(0));
// 初始化(0,1)处路径数量为1，由于(1,1)处的路径数量肯定是为1的，而(1,1)处路径数量
// 等于(1,0)的路径数量加上(0,1)的路径数量，因此需要先将两者其一初始化为1
DPArray[0][1]=1;
// 从(1至m，1至n)遍历数组
for(let i=1;i<=m;i++){
for(let j=1;j<=n;j++){
// 到达(j,i)的路径数量就等于到达上一格即(j-1,i)与到达左一格即(j,i-1)的路
// 径数量之和，即：DPArray[i][j]=DPArray[i-1][j]+DPArray[i][j-1]
DPArray[i][j]=DPArray[i-1][j]+DPArray[i][j-1];
}
}
// 返回结果
return DPArray[m][n];
}
/**
* @description: 组合数学 TC:O(n) SC:O(1)
* @author: JunLiangWang
* @param {*} m 给定纵坐标边界
* @param {*} n 给定横坐标边界
* @return {*}
*/
function combinatorialMathematics(m,n){
/**
* 该方案我们使用数学中排列组合的组合思想，从左上角到右下角的过程中，
* 我们总共需要移动m+n−2次，其中有m−1次向下移动，n−1次向右移动。因
* 此路径的总数，就等于从 m+n−2次移动中选m−1次向下移动的方案数，即
* 组合数：C (m-1)
* (m+n-2)
*/
let ans = 1;
for (let x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
ans = Math.floor(ans * x / y);
}
return ans;
}
来源：力扣（LeetCode）
