独立任务最优调度问题（DP）

题目描述

用 $2$ 台处理机 $A$ 和 $B$ 处理 $n$ 个作业。

设第 $i$ 个作业交给机器 $A$ 处理时需要时间 $a_i$，若由机器 $B$ 来处理，则需要时间 $b_i$。由于各作业的特点和机器的性能关系，很可能对于某些 $i$，有 $a_i\ge b_i$，而对于某些 $j$, $j≠i$，有 $a_j\le b_j$。既不能将一个作业分开由 $2$ 台机器处理，也没有一台机器能同时处理2个作业。

题目分析

分析问题我们发现，每个任务只有两种选择，即由 $A$ 或 $B$ 处理，于是我们便可以想到暴力的解法，即依次对每个任务的两种选择进行枚举，记录 $A$ 和 $B$ 所用时间中较大值的最小值。时间复杂度为 $O(2^n)$。

接下来考虑动态规划进行优化。

三维动态规划

定义 $a[i],b[i]$ 表示第 $i$ 项任务交给 $A$，$B$ 机器完成所需要的时间，$f[i][j][k]$ 表示是否可以使用 $A$ 机器时间 $i$，$B$ 机器时间 $j$ 的情况下完成前 $k$ 个任务。

首先定义 $A，B$ 机器最大用时 $m$，即 $A，B$ 单独工作时间 $m$ 的情况下，均能够完成 $k$ 个任务。$f[i][j][k]$ 为 $1$ 则表示可以完成，为 $0$ 则表示无法完成。初始化 $f[0～m][0～m][0]$ 为 $1$，意为任意时间均可完成 $0$ 项任务。

转移方程为 $f[i][j][k] = f[i-a[k]] | f[i][j-b[k]][k-1]$，意为在完成前 $k-1$ 项任务后，在当前时间限制下，机器A能否留出时间 $a[k]$ 或 $B$ 机器能否留出时间 $b[k]$ 完成任务 $k$。

最终答案为完成 $k$ 项任务的 ${i,j}$ 对中较大值的最小值。

Accept 核心代码

for (int i = 0; i <= m; i ++)
    for (int j = 0; j <= m; j ++)
        f[i][j][0] = 1;
for (int k = 1; k <= n; k ++)
    for (int i = 0; i <= m; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            if (i >= a[k]) f[i][j][k] |= f[i - a[k]][j][k - 1];
            if (j >= b[k]) f[i][j][k] |= f[i][j - b[k]][k - 1];
        }
int res = 100;
for (int i = 0; i <= m; i ++)
    for (int j = 0; j <= m; j ++)
        if (f[i][j][n])
        {
            res = min(res, max(i, j));
            break;
        }
cout << res << "\n";