LeetCode热题（JS版） - 62. 不同路径

问题描述

有一个 m x n 的网格图，初始时机器人位于左上角 (0, 0) 处。机器人每次只能向下或向右移动一步。目标是使机器人到达右下角 (m - 1, n - 1) 处，有多少条不同的路径可以到达终点？

示例

输入：m = 3, n = 7
输出：28
解释：从起点 (0, 0) 到终点 (2, 6) 有 28 条不同的路径。

解法

为了找出从起点到终点的所有不同路径，我们可以使用动态规划。假设 dp[i][j] 表示从 (0, 0) 走到 (i, j) 的不同路径数，其中 0 <= i < m，0 <= j < n。

显然，到达第一行和第一列的任何位置时只有一种走法，因为机器人只能向下或向右移动。因此，对于矩阵中的第一行和第一列，dp[i][0] = dp[0][j] = 1。

对于其他位置 (i, j)，由于机器人只能向下或向右移动，因此到达 (i, j) 的不同路径数等于到达 (i - 1, j) 和 (i, j - 1) 的不同路径数之和。因此，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

最终的答案即为 dp[m - 1][n - 1]，即从起点走到终点的所有不同路径数。

代码实现

以下是使用 Typescript 实现的代码：

function uniquePaths(m: number, n: number): number {
  const dp = Array.from({ length: m }, () => new Array(n).fill(0));
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      if (i === 0 || j === 0) {
        // 第一行和第一列只有一种走法
        dp[i][j] = 1;
      } else {
        // 其他位置的不同路径数等于上方和左侧的不同路径数之和
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
      }
    }
  }
  return dp[m - 1][n - 1];
}

时间复杂度分析

由于需要遍历整个 m x n 的矩阵，因此时间复杂度为 $O(mn)$。反观动态规划的解法，则需要建立一个 $m \times n$ 的二维数组来存储中间结果，因此空间复杂度为 $O(mn)$。

因此，算法的时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度也为 $O(mn)$。