题目一 完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

思路

本题和01背包的区别在于遍历时的遍历顺序不一样，01背包内层重量循环是倒叙的，而完全背包是正序的。本题无论先遍历物品还是先遍历重量都是可以的，不影响结果

• dp[i]: 重量为i的背包最多可以得到的最大价值
• 递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j])
• 初始化：0
• 遍历顺序：无论先遍历物品还是先遍历重量都是可以的

/**
   dp[i]: 重量为i的背包可以得到的最大价值
   dp[i] = max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j])
 */

var completePack = function (weight, value, bagWeight) {
    const dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0);
    const len = value.length;
    // 先遍历背包，后遍历物品
    for (let i = 0; i <= bagWeight; i++) {
        for (let j = 0; j <= len; j++) {
            if (i >= weight[j]) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    return dp[bagWeight];
}

var completePack = function (weight, value, bagWeight) {
    const dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0);
    const len = value.length;
    // 先遍历物品，后遍历背包
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        for (let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    return dp[bagWeight];
}

var value = [15, 20,30];
var weight = [1, 3, 4];
var bagWeight = 4;
completePack(weight, value, bagWeight);

题目二 518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

思路

转化为背包问题，amount代表背包容量，coins代表物品的重量以及价值，相等都是coins[i], 硬币可以多次使用，所以是完全背包问题。

• dp[j]: 总金额为amount的硬币组合数
• 递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; dp[j]=dp[j - coins[0]] + dp[j - coins[1]] + ... + dp[j - coins[i]]表示每一个物品的组合数的和。
• 初始化：金额为0的情况，初始化为1，不然后面所有的都是0
• 遍历顺序：求的是组合问题，（1,2,1）和（1,1,2）算一种情况，跟顺序无关，先遍历物品后遍历重量。

var change = function(amount, coins) {
    const len = coins.length;
    const dp = new Array(amount + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        for (let j = coins[i]; j <= amount; j++) {
            dp[j] += dp[j - coins[i]];
        }
    }
    return dp[amount];
};

题目三 377. 组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

思路

和上题基本一样，但区别在于本题不同顺序代表不同组合，所以是求排列问题。和上题的不同在于遍历顺序，其他都一样。

转化为完全背包问题，target代表背包容量，nums代表物品的重量以及价值，相等都是nums[i], 硬币可以多次使用，所以是完全背包问题。

• dp[j]: 和为target的硬币组合数
• 递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]]; dp[j]=dp[j - coins[0]] + dp[j - coins[1]] + ... + dp[j - coins[i]]表示每一个物品的组合数的和。
• 初始化：金额为0的情况，初始化为1，不然后面所有的都是0
• 遍历顺序：求的是排列问题，（1,2,1）和（1,1,2）是两种情况，跟顺序是有关的，先遍历重量后遍历物品。

 var combinationSum4 = function(nums, target) {
    const len = nums.length;
    const dp = new Array(target + 1).fill(0);
    dp[0] = 1
    for (let i = 0; i <= target; i++) {
        for (let j = 0; j < len; j++) {
            if (i >= nums[j]) {
                 dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
    }
    return dp[target];
}