【算法】GCD on Blackboard

题目来自 AtCoder 上的 GCD on Blackboard。

题目

黑板上写着 $N$ 个整数 $A_1, A_2, \dots, A_N$。

你将选择其中一个数并将其替换为另一个 $1$ 到 $10^9$ 的整数。这个数可以与替换之前的数相同。

替换后，黑板上所有整数的最大可能的 GCD 是多少？

注：GCD 为最大公约数，表示能整除所有 $A_1, A_2, \dots, A_N$ 的最大数。

输入

第一行包含一个整数 $N$（$2 \le N \le 10^5$）。

第二行包含 $N$ 个整数，$A_1, A_2, \dots, A_N$（$1 \le A_i \le 10^9$）。

输出

输出一个整数，表示替换一个数后所有数的最大可能的 GCD。

例子

例 1

3
7 6 8

2

解释：
将 $7$ 替换为 $4$，$\gcd(4,6,8) = 2$。这是我们能得到的最大 GCD 值。

例 2

3
12 15 18

6

解释：
将 $15$ 替换为 $6$，$\gcd(12,6,18) = 6$。这是我们能得到的最大 GCD 值。

例 3

2
10 10

10

解释：
将一个 $10$ 替换为 $10$（也就是说没有替换），$\gcd(10,10) = 10$。这是我们能得到的最大 GCD 值。

题目要求

输入：$N$，$A_1, A_2, \dots, A_N$
输出：最大化 $\gcd(A_1, A_2, \dots, A_N)$
条件：可以替换一个 $A_i$

解题思路

关键 1

假设我们要将 $A_i$ 替换成 $x$，那么替换后的最大 GCD 只能是除了 $A_i$ 以外的数的 GCD，即

为什么？

首先，我们选择的 $x$ 一定要是其他数的公约数（否则最后结果不就变成 1 了嘛）。其次，$x$ 要尽可能的大，那不就是其他数的最大公约数（GCD）了。

换句话说，虽说题目是写替换一个数，但实则和删除一个数没有差别。这一点非常关键。

关键 2

现在我们有思路了，遍历数组，尝试删除一个数，看看剩余数的 GCD 最大能是多少。

这个数据量（$N \le 10^5$），两层 for 循环，铁定超时。

我们需要优化一下，使用前/后缀和预先计算 $\gcd(A_1, A_2, \dots, A_{i - 1})$ 和 $\gcd(A_{i + 1}, A_{i + 2}, \dots, A_N)$。

定义：

对于每个数 $A_i$，我们能直接求 $\gcd(\mathrm{pre}[i - 1], \mathrm{rpre}[i + 1])$。

时间复杂度：$O(n+\log(\max A_i))$
空间复杂度：$O(n)$

代码

C++：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    int a[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];

    int pre[n], rpre[n];
    pre[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++)
        pre[i] = __gcd(pre[i - 1], a[i]);
    rpre[n - 1] = a[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
        rpre[i] = __gcd(rpre[i + 1], a[i]);

    int ans = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int gcd_oth; // 除了 a[i] 以外的所有数的 GCD
        if (i == 0) gcd_oth = rpre[i + 1];
        else if (i == n - 1) gcd_oth = pre[i - 1];
        else gcd_oth = __gcd(pre[i - 1], rpre[i + 1]);

        ans = max(ans, gcd_oth);
    }
    cout << ans;
}

Python：

from math import gcd


n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))

pre = [a[0]]
for i in range(1, n):
    pre.append(gcd(pre[i - 1], a[i]))
rpre = [a[n - 1]]
for i in range(n - 2, -1, -1):
    rpre.insert(0, gcd(rpre[0], a[i]))

ans = -1
for i in range(0, n):
    # 除了 a[i] 以外的所有数的 GCD
    if i == 0:
        gcd_oth = rpre[i + 1]
    elif i == n - 1:
        gcd_oth = pre[i - 1]
    else:
        gcd_oth = gcd(pre[i - 1], rpre[i + 1])

    ans = max(ans, gcd_oth)

print(ans)

总结

1. 没辙，数论得学好；
2. 前缀和不仅只能是“和”，XOR 和 GCD 操作都挺常见的，核心思想是这类型的计算都能一边遍历数组一边累计结果；
3. 求 “除了第 $i$ 个数以外的数的某某运算” 或许可以使用前缀和 + 后缀和。

相关知识点：数论、前/后缀和