G - MoonLight的冒泡排序难题

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题目描述

氧气少年给了 MoonLight 一个长度为 $n(1≤n≤2⋅10^5)$的排列p。

MoonLight 会不停地进行下面的操作，直到当前排列变成严格递增的排列：

• 选择一个最大的、不满足 $p_i=i$ 的元素 $p_i$，然后将其向后移动到位置 $p_i$，其他元素保持原来的顺序不变。

上述过程可以用下面的伪代码表示：

现在，氧气少年不小心打乱了这个排列，每种排列出现的概率均等。

MoonLight 想知道，伪代码中 while 循环进行的轮数的期望值。

可以证明，答案可以表示成 $p/q$ 的形式。其中，$p≥0,q≥1,gcd⁡(p,q)=1,q mod  998244353≠0$。

你只需输出 $p⋅q^{998244351} mod  998244353$即可。

输入描述:

第一行包含一个整数 $T(1≤T≤2⋅10^5)$，表示测试用例的组数。

对于每组测试用例：

仅输入一行，包含一个整数 $n(1≤n≤2⋅10^5)$，表示排列 p 的长度。

输出描述:

对于每组测试用例：

仅输出一行，包含一个整数，表示答案。

输入

3
1
2 
3

输出

0
499122177
166374060

解题思路

这道题其实是一道推公式的数学题。

这里求的是while循环的轮数的期望值，这里我们找排列可以用如下图的插空的方式，对于2个数，有两种可能（12,21）期望为1/2，3个数（只要3不在末位，就要循环把它放到末位），期望为3/2，4个数期望为3/4。以此类推，i个数，期望为i-1/i。

接下来就是对高次幂和取模的处理，当然，高次幂一定是用快速幂来求解最合适。在这里，我们发现，每一步都依赖于前一步的结果，所以类型有点像dp。
主要代码如下：

   f[0]=0;
   for (int i = 1; i <= 2e5; i++)
   {
       f[i] = (f[i - 1] + (i - 1) * qmi(i, mod - 2) % mod) % mod;
   }

AC代码

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    #define int long long
    #define endl '\n'
    #define pair PII;
    typedef long long ll;
    typedef unsigned long long ull;
    typedef long double ld;
    const int mod = 998244353;
    const int N = 200010;
    int f[N];
    int qmi(int a, int k)
    {
        int res = 1 ;
        while (k)
        {
            if (k & 1) res = res * a % mod;
            k >>= 1;
            a = a * a % mod;
        }
        return res;
    }
    ​
    signed main()
    {
        ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0);
        cout.tie(0);
        f[0]=0;
        for (int i = 1; i <= 2e5; i++)
        {
            f[i] = (f[i - 1] + (i - 1) * qmi(i, mod - 2) % mod) % mod;
        }
        int n;
        cin >> n;
        while (n--)
        {
            int q;
            cin >> q;
            cout << f[q]<<endl;
        }
    ​
        return 0;
    ​
    }