首先介绍一个数学中相关的概念：同余
同余的概念
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明：
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4，16，28对于模 12 同余。
负数取模
正数进行mod运算是很简单的，但是负数呢？
下面是关于mod运算的数学定义：
上面是截图，"取下界”符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码)。下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号：
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界。
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10 (-2) mod 12 = -2 - 12x[-2/12] = -2 - 12x(-1) = -2 + 12 = 10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-4) mod 12 = -4 - 12x[-4/12] = -2 -12x(-1) = -4 + 12 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 (-5)mod 12 = -5 - 12x[-5/12] = -5 -12x(-1) = -5 + 12 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上：
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意，这里发现的规律！
结合上面学到的同余的概念，实际上：
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的。
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的。
距离成功越来越近了。要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理：
反身性：
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的。
线性运算定理：
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么：
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
所以：
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数，找到了它的正数同余数。但是并不是7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ，即计算结果的余数相等。
接下来回到二进制的问题上，看一下：2-1=1的问题。
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]反+ [1111 1110]反
先到这一步，-1的反码表示是1111 1110。如果这里将[1111 1110]认为是原码，则[1111 1110]原 = -126，这里将符号位除去，即认为是126。
发现有如下规律：
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即：
2 ≡ 2 (mod 127)
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的！而这个余数，正式我们的期望的计算结果：2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个模的同余数。而这个模并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值！这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值！
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。
既然反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢？为什么在反码的基础上加1，还能得到正确的结果？
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原+ [1000 0001]原= [0000 0010]补+ [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则：
[0111 1111]原= 127
其实，在反码的基础上+1，只是相当于增加了模的值：
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2 ≡ 2 (mod 128)
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时，表盘相当于每128个刻度转一轮。所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。
但是由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128, 127]
