1.算法仿真效果
matlab2022a仿真结果如下：
2.算法涉及理论知识概要
多重分形(multifractal)一种分为多个区域的复杂分形结构。为了对分形的复杂性和不均匀性进行更细致地刻画，需引进它的概率分布函数及其各阶矩的计算，由此构成了分形维数的一个连续谱，称之为多重分形或多标度分形。
由于多重分形至今尚无严格的数学定义，以下仅通过实例进行简单的描述.设有一个分布不均匀的分形，首先将它分成若干个小区域，定义第i区域内的密度分布函数为尸，假定尸，存在着标度关系.其中e是一个小的测量单位，a是一个标度指数，称为奇异指数，它是反映分形体内各个小区间的奇异程度的一个量，所以a的数值与其所在的位置有关.进一步将分形上具有相同a值的小区间数记为
f (a)被称为奇异谱，因为它将奇异值a的密度用一个连续函数来表示.另一方面，还可将分布函数进行加权求和，得到
r(y)常称为质量指数.再定义加权后的广义分形维数D。为
从上述公式中可知，当9=。时，D。就是普通的分形维数，而D,称为信息维数，D:称为关联维数.因此，几，被称为广义分形维数.经过简单的计算可得a, 六a)和:<q) }D、这两组参量之间的对应关系式为.
这一系列公式给出了多重分形理论的基本核心.利用多重分形，可把一个复杂的分形分成许多具有不同奇异程度的小区域来研究，从而能分层次地来 [1] 了解分形的内部精细结构.
计算多重分形谱概率的方法有两种：一种是针对灰度图像的算法，将图像灰度信息转换为高度矩阵，然后分割求高度概率；另一种是针对黑白图像的算法，分割求白色像素概率（黑色为背景）。
具体计算过程：
计算图像尺寸，L×L，尺寸大小应为L=2^n
对图像进行网格划分，每个网格尺寸为s×s，ε=s/L，1<=s<L，s为能被2整除的正整数
一、首先定义配分函数，此函数是对概率的加权求和，即
三、质量指数。配分函数与尺度ε存在幂函数关系Iq(ε)= ετ(q)，两边取对数，则可得到
3.MATLAB核心程序 `Qran = 20*qs;
for kj=1:p
count = 0;
No_boxes = power(Rs,2)/power(power(2,kj),2);
for q = -Qran:10*qstep:Qran
qsum = 0;
for i=1:No_boxes
if PsL(i,kj) ~= 0
qsum = qsum + power(PsL(i,kj),q);
end
end
fqnum = 0;
aqnum = 0;
smuiqL = 0;
for i=1:No_boxes
if PsL(i,kj) ~= 0
muiqL = power(PsL(i,kj),q)/qsum;
fqnum = fqnum + (muiqL * log(muiqL));
aqnum = aqnum + (muiqL * log(PsL(i,kj)));
smuiqL = smuiqL + muiqL;
end
end
count = count + 1;
fql(kj,count) = fqnum;
aql(kj,count) = aqnum;
qval(count) = q;
end
end
for i=1:count
line = polyfit(logl,aql(:,i),1);
aq(i) = line(1);
yfit = polyval(line,logl);
sse = sum(power(aql(:,i)-yfit,2));
sst = sum(power(aql(:,i)-mean(aql(:,i)),2));
ar2(i) = 1-(sse/sst);
end
for i=1:count
line = polyfit(logl,fql(:,i),1);
fq(i) = line(1);
yfit = polyval(line,logl);
sse = sum(power(fql(:,i)-yfit,2));
sst = sum(power(fql(:,i)-mean(fql(:,i)),2));
fr2(i) = 1-(sse/sst);
end
for i=1:count
Dq(i) = (aq(i)*qval(i)-fq(i))/(qval(i)-1);
end
aqs = aq;
fqs = fq;
qvals = qval;
Dqs = Dq;`
