Github仓库： JavaDataStructure: Java 版数据结构 (github.com)

2. 数组

2.1 数组的顺序存储

由于存储单元是一维结构，而数组可能是多维结构的，则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有次序约定问题。

二维数组的可有两种存储方式：一种以行序为主序的存储方式；一种以列序为主序的存储方式。

行序为主序。假设每个元素占 $L$ 个存储单元，则二维数组 $A[0..m-1,0..n-1]$ （即下标从0开始，共有 m 行 n 列）中任一元素 $a_{i,j}$ 的存储位置可由下式确定：

LOC(i,j) = LOC(0,0)+(n \times i + j)

列序为主序。假设每个元素占 $L$ 个存储单元，则二维数组 $A[0..m-1,0..n-1]$ （即下标从0开始，共有 m 行 n 列）中任一元素 $a_{i,j}$ 的存储位置可由下式确定：

LOC(i,j) = LOC(0,0)+(m \times j + i)

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。必须是n 阶方阵。

对于对称矩阵，可以为每一对对称元分配一个存储空间，则可将 $n^2$ 个元压缩存储到 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个元的空间中。

假设以一维数组 $sa[\frac{n(n+1)}{2}]$ 作为 $n$ 阶对称矩阵 $A$ 的存储结构，则 $sa[k]$ 和矩阵元 $a_{i,j}$ 之间存在着一一对应的关系：

k = \left\{ \begin{aligned} \frac{i(i-1)}{2}+j-1 \ 当\ i\geq j \\\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1 \ 当\ i < j \end{aligned} \right.

例子：

\left[\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3n} \\ \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \\ \end{array}\right]

数据结构=数组.png

\left[ \begin{array}{c} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right]

上三角矩阵

上三角矩阵是指矩阵下三角（不包括对角线）中的元均为常数 $c$ 或零的 $n$ 阶矩阵。 $sa[k]$ (从0开始)和矩阵元 $a_{i,j}$ (从0开始)之间的对应关系为

k = \left\{ \begin{aligned} \frac{(n-1-i)(1+n-1-i)}{2}+j-i \ 当\ i\leq j \\\ \frac{n(n+1)}{2} \ 当\ i \gt j \end{aligned} \right.

下三角矩阵

下三角矩阵是指矩阵上三角（不包括对角线）中的元均为常数 $c$ 或零的 $n$ 阶矩阵。 $sa[k]$ 和矩阵元 $a_{i,j}$ 之间的对应关系为

k = \left\{ \begin{aligned} \frac{i(i-1)}{2}+j-1 \ 当\ i\ge j \\\ \frac{n(n+1)}{2} \ 当\ i \lt j \end{aligned} \right.

证明

\left[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & 0 \\ \dots \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ \end{array}\right] \rightarrow \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \dots \\ n \end{array}

根据每行的非零元素个数，可得 $a_1=1，a_2=2，a_3=3，\dots，a_{n}=n$

当 $i \ge j$ 时， $a_{ij}$ (下标元素从1开始)的位置为：

在 $i$ 之前一共有 $i-1$ 行，可知 $a_1=1$ ， $a_{i-1}=i-1$ ，根据等差求和公式可求得前面行数共有多少个元素，公式如下所示：

S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{(i-1)(1+i-1)}{2}=\frac{i(i-1)}{2}

可得公式为： $a_{ij} = \frac{i(i-1)}{2} + j-1$