不含时薛定谔方程
不含时薛定谔方程的其中一种表示方法如下：
− ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) (1) -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+V(x) \psi(x)=E \psi(x) \tag{1} − 2 m ℏ 2 d x 2 d 2 ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) ( 1 ) 我们将主要关注恒定能量状态（静止状态），因此通常会处理与时间无关的薛定谔方程式(1)。为简单起见，我们将此方程称为“薛定谔方程”。请注意，薛定谔方程包含两个未知数：允许的能量 E E E c c c c c c E E E c c c
概率
在量子力学中，粒子位于 a ≤ x ≤ b a\le x\le b a ≤ x ≤ b P r Pr P r
∫ a b ∣ Ψ ∣ 2 d x = P r ( a ≤ x ≤ b ) (2) \int_{a}^{b} |\Psi|^{2}dx=Pr(a\le x\le b) \tag{2} ∫ a b ∣Ψ ∣ 2 d x = P r ( a ≤ x ≤ b ) ( 2 ) 同时，由于∣ Ψ ∣ 2 |\Psi|^{2} ∣Ψ ∣ 2
∫ − ∞ + ∞ ∣ Ψ ∣ 2 d x = 1 (3) \int_{-\infty }^{+\infty } |\Psi|^{2}dx=1 \tag{3} ∫ − ∞ + ∞ ∣Ψ ∣ 2 d x = 1 ( 3 ) 🌰举个例子🌰
对于单粒子一维系统，t t t Ψ = a − 1 / 2 e − ∣ x ∣ / a \Psi=a^{-1/2}e^{-|x|/a} Ψ = a − 1/2 e − ∣ x ∣/ a a a a t t t x x x x x x x x x x x x Ψ \Psi Ψ
（a）
当 x =1.5000 nm 时, Ψ = e − 1.5000 n m − 1 / 2 = 0.22313 n m − 1 / 2 当 x =1.5001 nm 时, Ψ = e − 1.5000 n m − 1 / 2 = 0.22311 n m − 1 / 2 \text{当 $x$=1.5000\,nm\,时, }\Psi =e^{-1.5000}nm^{-1/2}=0.22313nm^{-1/2} \\
\text{当 $x$=1.5001\,nm\,时, }\Psi =e^{-1.5000}nm^{-1/2}=0.22311nm^{-1/2} 当 x =1.5000 nm 时 , Ψ = e − 1.5000 n m − 1/2 = 0.22313 n m − 1/2 当 x =1.5001 nm 时 , Ψ = e − 1.5000 n m − 1/2 = 0.22311 n m − 1/2 则可近似认为，Ψ \Psi Ψ
∣ Ψ ∣ 2 d x = a − 1 e − 2 ∣ x ∣ / a d x = 1 × e 2 × ( 1.5 / 1 ) × 0.0001 = 4.979 × 1 0 − 6 \begin{align*}
|\Psi|^{2}dx&=a^{-1}e^{-2|x|/a}dx \\
&=1\times e^{2\times(1.5/1)}\times 0.0001 \\
&=4.979 \times 10^{-6}
\end{align*} ∣Ψ ∣ 2 d x = a − 1 e − 2∣ x ∣/ a d x = 1 × e 2 × ( 1.5/1 ) × 0.0001 = 4.979 × 1 0 − 6 （b）
P r ( 0 ≤ x ≤ 2 n m ) = ∫ 0 2 n m ∣ Ψ ∣ 2 d x = a − 1 ∫ 0 2 n m e − 2 x / a d x = − 1 2 e − 1 x / a ∣ 0 2 n m = − 1 2 ( e − 4 − 1 ) = 0.4908 \begin{align*}
Pr(0\le x \le 2 \, nm)
&=\int_{0}^{2\ nm}|\Psi|^{2}dx\\
&=a^{-1}\int_{0}^{2\ nm}e^{-2x/a}dx \\
&=-\frac{1}{2}e^{-1x/a}|_{0}^{2\,nm} \\
&=-\frac{1}{2}(e^{-4}-1) \\
&=0.4908
\end{align*} P r ( 0 ≤ x ≤ 2 nm ) = ∫ 0 2 nm ∣Ψ ∣ 2 d x = a − 1 ∫ 0 2 nm e − 2 x / a d x = − 2 1 e − 1 x / a ∣ 0 2 nm = − 2 1 ( e − 4 − 1 ) = 0.4908 （c）
∫ − ∞ ∞ ∣ Ψ ∣ 2 d x = a − 1 ∫ − ∞ 0 e 2 x / a d x + a − 1 ∫ 0 ∞ e − 2 x / a d x = a − 1 ( 1 2 a e 2 x / a ∣ − ∞ 0 ) + a − 1 ( − 1 2 a e − 2 x / a ∣ 0 ∞ ) = 1 2 + 1 2 = 1 \begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^{2} d x
& =a^{-1} \int_{-\infty}^{0} e^{2 x / a} d x+a^{-1} \int_{0}^{\infty} e^{-2 x / a} d x \\
& =a^{-1}\left(\left.\frac{1}{2} a e^{2 x / a}\right|_{-\infty} ^{0}\right)+a^{-1}\left(-\left.\frac{1}{2} a e^{-2 x / a}\right|_{0} ^{\infty}\right) \\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\
&=1
\end{aligned} ∫ − ∞ ∞ ∣Ψ ∣ 2 d x = a − 1 ∫ − ∞ 0 e 2 x / a d x + a − 1 ∫ 0 ∞ e − 2 x / a d x = a − 1 ( 2 1 a e 2 x / a ∣ ∣ − ∞ 0 ) + a − 1 ( − 2 1 a e − 2 x / a ∣ ∣ 0 ∞ ) = 2 1 + 2 1 = 1 由此可知，已归一化（normalized）。
