基于Python实现线性分类器

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在机器学习领域，分类的目标是指将具有相似特征的对象聚集。而一个线性分类器则透过特征的线性组合来做出分类决定，以达到此种目的。对象的特征通常被描述为特征值，而在向量中则描述为特征向量。

1. 理论知识

1.1 从线性回归到线性多分类

回归是基于给定的特征，对感兴趣的变量进行值的预测的过程。在数学上，回归的目的是建立从输入数值到监督数值的函数： $\hat y=f(x_1,...,x_m)$ 线性回归限制函数为线性形式，即为： $f(x_1,...x_m)=w_0+w_1x_1+...+w_mx_m=\bold x\bold w$ 其中， $\bold x = [1,x_1,x_2,...,x_m]\ \bold w = [w_0,w_1,w_2,...,w_m]^T$ 也就是找一组参数${w_k}^m_{k=1}$，使得在训练集上，函数与预测值尽可能接近。

对于本次的分类问题来说，线性回归的输出值与分类任务中的目标值不兼容。线性回归的结果范围为全体实数，而对于本次实验的多分类问题，变量结果即属于的类别，换言之，我们期望的结果标签的种类数量和训练样本的总类别数量一致。因此考虑使用softmax函数来将回归结果映射到种类上，从而表示分类结果。对于K分类问题，有： $softmax_i(\bold z)=\frac{e^{z_i}}{\sum^K_{k=1}e^{z_k}}\ f_i(\bold x)=softmax_i(\bold{xW})=\frac{e^{\bold{xw_i}}}{\sum^K_{k=1}e^{\bold{xw_k}}}$ 其中，$\bold W$为： $\bold W\triangleq \left[\begin{matrix}{\bold w_1,\bold w_2...,\bold w_K}\end{matrix}\right]$ 易见，所有类的softmax函数值之和为1。每一类的函数值就为它的概率。

1.2 损失函数表示与优化

经过上面的讨论与操作，对于多分类问题，预测结果是在每一类上的概率，即维度数等于类数的向量。与之对应的实际结果可以用独热向量表示，即是本类的那一维度为1，其他维度为0的向量。为了使得预测结果与实际结果尽量接近，我们考虑用损失函数用于衡量预测结果和实际结果的差距。在数学上，该分类问题等价于找到合适的向量$\bold w$，使得损失函数最小化。依据本次实验的要求，损失函数需要分别考虑交叉熵损失和均方误差损失，即损失函数分别为： $L_1(\bold w_1,\bold w_2,...,\bold w_K)=-\frac1N\sum^N_{l=1}\sum^K_{k=1}y_k^{(l)}\log softmax_k(\bold x^{(l)}\bold W)\ L_2(\bold w_1,\bold w_2,...,\bold w_K)=\frac1N\sum^N_{l=1}\sum^K_{k=1}(softmax_k(\bold x^{(l)}\bold W)-y^{(l)}_k)^2$ 其中，$y_k^{(l)}$是第$k$个$y^{(l)}$的元素。

考虑使用梯度下降法使得损失函数最小化。两个损失函数的梯度分别为： $\frac{\part L(\bold W)}{\part\bold W}=\frac1N\sum^N_{l=1}\bold x^{(l)T}(softmax(\bold x^{(l)}\bold W)-\bold y^{(l)})\ \frac{\part L(\bold W)}{\part\bold W}=\frac2N\sum^N_{l=1}\bold x^{(l)T}(softmax(\bold x^{(l)}\bold W)-\bold y^{(l)})*(diag(softmax(\bold x^{(l)}\bold W)-softmax(\bold x^{(l)}\bold W)*softmax(\bold x^{(l)}\bold W)^T)$

梯度下降法的参数更新方式为： $\bold W^{(t+1)}=\bold W^{(t)}-r\left.\frac{\part L(\bold W)}{\part\bold W}\right|_{\bold W=\bold W^{(t)}}$

其中$r$为学习率。对于凹函数，通过适当的学习率，对模型参数进行迭代更新，最终可以收敛到最小值点。