引言

本文介绍自动求导的基础知识——计算图。

计算图

我们知道，反向传播是模型训练的途径。而反向传播是基于求导的，有没有想过像Keras和PyTorch这种工具是如何做到自动求导的。答案就是计算图，只要掌握了计算图的知识，我们就能自己开发一个自动求导工具。

计算图是一种描述函数的工具，可以可视化为有向图结构。其中节点为Tensor(向量/张量)，有向边为操作。

在深度学习中比较常见的例子是类似

x可以看成是输入，y可以看成是输出，中间经过了3次变换。

有时我们的函数有多个参数(比如乘法就有两个参数)，假设我们要计算$e = (a+b) * (b+1)$​​，它的计算图如下：

这里令$c = a+ b; \quad d = b + 1$，为了完整性，也画出了常量$1$。

有了这个计算图，我们就就可以很容易的计算出$e$的值。比如令$a=2,b=1$

当然，我们这么辛苦的画出这个图，主要不是为了沿着箭头方向进行计算的。而是为了求导，也就是计算梯度。

计算图上的梯度

回顾一下链式法则

我们重点来看下多路径的链式法则，即上面说的全导数。

我们要计算$e = (a+b) * (b+1)$中$\partial e/ \partial b$。

$c = a+ b; \quad d = b + 1$。

类似上图中的$t$，$b$也影响了两个因子。因此有

要计算偏导数，我们先把每个箭头的偏导数计算出来。

我们先填入计算出来的式子：

根据$e = c * d \quad c = a+ b \quad d = b+ 1$以及求导公式不难得到上面的结果。

此时，要计算$\partial e/ \partial b$，只需要找出所有从$b$到$e$​到路径，然后把相同路径上的值相乘，不同路径上的值相加(连线相乘，分线相加)。

就可以得到：$\partial e/ \partial b = 1*(b+1) + 1*(a+b)$

此时，代入$a=2,b=1$。

先计算出$b+1=2$，再计算$a+b=3$，所以$\partial e/ \partial b = 1*2 + 1 *3=5$

反向模式

如果要同时计算$e$对$a$和$b$​的偏导数，我们需要反向模式(Reverse mode)来同时计算它们。

反向就是从顶点开始，这里从$e$开始，也从梯度等于$1$开始。

从顶点到$b$，通过有两条路径，如山古同橙色箭头所示。达到$c$时的梯度为$1 * 2 =2$；到达$d$时的梯度为$1 * 3=3$。

$c$和$d$到$b$的梯度都是$1$。根据相同路径相乘，不同路径相加。到$b$到梯度为$2+3=5$。

此时，计算$e$到$a$的就简单了，我们已经知道了$e$到$c$到梯度为$2$，由于$e$到$a$只有一条路径，因此直接相乘得$\partial e / \partial a =2 * 1=2$。

如果你的函数只有一个输出，由需要同时计算大量的不同值的偏导数时，用反向模式就比较快。

而这恰恰非常适合于我们计算损失函数的梯度，因为损失函数的输出就是一个标量。

总结

我们已经了解了计算图的基础知识，下篇文章就来看一下常见操作的计算图。