写在前面

本人CSDN博客主页：这里

一、题目

1、原题链接

141. 周期

2、题目描述

一个字符串的前缀是从第一个字符开始的连续若干个字符，例如 abaab 共有 5 个前缀，分别是 a，ab，aba，abaa，abaab。

我们希望知道一个 N 位字符串 S 的前缀是否具有循环节。

换言之，对于每一个从头开始的长度为 i（i>1）的前缀，是否由重复出现的子串 A 组成，即 AAA…A （A 重复出现 K 次,K>1）。

如果存在，请找出最短的循环节对应的 K 值（也就是这个前缀串的所有可能重复节中，最大的 K 值）。

输入格式

输入包括多组测试数据，每组测试数据包括两行。

第一行输入字符串 S 的长度 N。

第二行输入字符串 S。

输入数据以只包括一个 0 的行作为结尾。

输出格式

对于每组测试数据，第一行输出 Test case # 和测试数据的编号。

接下来的每一行，输出具有循环节的前缀的长度 i 和其对应 K，中间用一个空格隔开。

前缀长度需要升序排列。

在每组测试数据的最后输出一个空行。

数据范围

2≤N≤1000000

输入样例：
3
aaa
4
abcd
12
aabaabaabaab
0
输出样例：
Test case #1
2 2
3 3

Test case #2

Test case #3
2 2
6 2
9 3
12 4

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总讲解视频 y总yyds

数据范围为10^6^，时间复杂度需控制在O(n) （1）由KMP算法可知，next[i]的含义：长度为i的字符串中最长相等前后缀的长度。（2）对于任意子串i-ne[i]是最小的循环节，而大于i-ne[i]的循环节的长度必然是i-ne[i]长度的倍数。（3）若对于某个子串i-ne[i]可以整除i，则说明最小循环节在该子串中出现了整数次，满足题目要求，否则不满足。（4）模拟上述过程，输出结果即可。

2、时间复杂度

时间复杂度为O(n)

3、代码详解

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1000010;
char s[N];
int ne[N];
int n;
int main(){
    int num=1;
    while(cin>>n){
        if(!n) break;    //输入0，结束循环
        cin>>s+1;
        //求next数组
        for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
            while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=ne[j];
            if(s[i]==s[j+1]) j++;
            ne[i]=j;
        }
        cout<<"Test case #"<<num++<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int t=i-ne[i];       //t记录最最小循环节的长度
            int k=i/t;           //k记录最小循环节出现的次数
            if(i%t==0&&k>1){     //如果最小循环节在该子串中出现了整数次，而且出现的次数大于1，输出子串长度和最小循环节出现次数
                cout<<i<<' '<<k<<endl;
            }
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

三、知识风暴

KMP算法

KMP算法主要解决字符串的匹配问题。

KMP主要思想：在匹配过程中，每当匹配过程中出现字符不相同的情况，不从头开始重新匹配，而是回退到已经部分匹配的位置后继续重新匹配，而退回的位置是由next数组来决定（next[i]表示长度为i的字符串的最长相等前后缀的长度）。

【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 141. 周期