位运算 加减乘除

• 题目

位运算来实现加减乘除，中间过程不能有任何+、-、*、/的使用

• 加法

对两个数异或实际结果为没有进位的加法结果，对两个数想与再左移一位结果为进位的结果

比如： 0101 + 0111,实际结果为5+7=12

function add(a, b) {
  while (b != 0) {
    sum = a ^ b; // 无进位加结果
    b = (a & b) << 1; //进位结果
    a = sum;
  }

  return sum;
}

• 减法

减法实际上 a-b 为 a+b 的相反数，在计算机中求一个数的相反数为取反后+1

function mini(a, b) {
  function contrary(n) {
    return add(~n, 1); // 因为不能存在+运算符，使用之前的加法函数
  }

  return add(a, contrary(b));
}

• 乘法

两个二进制相乘，同样可以使用运算十进制运算方式，比如 0111 * 0101,实际结果为 7*5=35

function multi(a, b) {
  // b每次乘完右移一位，当b所有位都是0的时候退出
  let res = 0;
  while (b != 0) {
    // b & 0001，即b的最后一位(当前要乘的位)不是0,加上a当前左移后的结果
    if ((b & 1) != 0) {
      res = add(res, a);
    }

    a = a << 1; // a左移满足乘法中根据当前位偏移的计算
    b = b >>> 1; //注意是无符号右移，否则高位会补1变成负数
  }
  return res;
}

• 除法（只考虑两个正数除法）

除法通过乘法进行倒推，比如乘法的例子 0111 * 0101 结果为 100011，即 100011 / 0111 结果为 0101

从乘法的计算过程中可以看出，最终的结果是通过0111不断左移后累加的结果，也就是说100011 / 0111 的结果中的最高位的1，将0111偏移到该位置的结果，一定比100011小，再往左偏移一位一定比100011大，也就是说将 0111 向左偏移 n 位得到的比100011小，最接近100011的偏移量n，一定是相除结果的最高位

将0111向左偏移2位，011100小于100011,再偏移一位就会大于100011，说明偏移2位是最接近100011的，所以相除最终结果最高位一定在第3位上 1 << 2, 0100

此时得到相除结果最高位，因为乘法中是0111不断左移后累加的结果，将100011 - 011100（偏移后的结果）,进而转求剩下的结果中的最高位,剩下结果为000111,而因为上一步求出了第三位为1，当前在求第二位结果，因为000111和0111相等，说明不能偏移，即第二位为0，得到0100

求最后一位，剩下的结果为000111,0111和它相等，所以最后一位为1

// a是除数、b是被除数， a / b
function divide(a, b) {
  let res = 0;
  // 因为a是b左移累加的结果，所以可以从a的最高位开始找，如果找到比b大的，说明该位就是b右移最接近a的偏移量
  for (let i = 31; i > -1; i--) {
    if (a >>> i >= b) {
      res |= 1 << i;
      a = mini(a, b << i); // 减去b最高位右移的结果，求剩余的最高位
    }
  }
}