在上一讲遇到了一些问题，比如怎么消除左递归，怎么确保正确的优先级和结合性。本节课的主要目的就是解决这几个问题，让你掌握像算术运算这样的二元表达式。
开始之前，先带温习一下什么是左递归、优先级和结合性。
在二元表达式的语法规则中，如果产生式的第一个元素是它自身，那么程序就会无限地递归下去，这种情况就叫做左递归。 比如加法表达式的产生式“加法表达式 + 乘法表达式”，就是左递归的。而优先级和结合性则是计算机语言中与表达式有关的核心概念。它们都涉及了语法规则的设计问题。
我们要想深入探讨语法规则设计，需要像在词法分析环节一样，先了解如何用形式化的方法表达语法规则。“工欲善其事必先利其器”。熟练地阅读和书写语法规则，是我们在语法分析环节需要掌握的一项基本功。
所以本节课我会先带你了解如何写语法规则，然后在此基础上，带你解决上面提到的三个问题。
书写语法规则，并进行推导
语法规则是由上下文无关文法表示的，而上下文无关文法是由一组替换规则（又叫产生式）组成的，比如算术表达式的文法规则可以表达成下面这种形式：
add -> mul | add + mul
mul -> pri | mul * pri
pri -> Id | Num | (add)
按照上面的产生式，add 可以替换成 mul，或者 add + mul。这样的替换过程又叫做“推导”。以“2+3*5” 和 “2+3+4”这两个算术表达式为例，这两个算术表达式的推导过程分别如下图所示：
分析过程中形成的这棵树就是 AST。只不过我们手写的算法在生成 AST 时，通常会省略掉一些不必要的节点。比如，“add-add-mul-pri-Num”这一条分支，实际手写时会被简化成“add-Num”。简化 AST 也是优化编译过程的一种手段
上图中两棵树的叶子节点有哪些呢？Num、+ 和 * 都是终结符，终结符都是词法分析中产生的 Token。而那些非叶子节点，就是非终结符。文法的推导过程，就是把非终结符不断替换的过程，让最后的结果没有非终结符，只有终结符。
而在实际应用中，语法规则经常写成下面这种形式：
add ::= mul | add + mul
mul ::= pri | mul * pri
pri ::= Id | Num | (add)
这种写法叫做 “巴科斯范式”， 简称 BNF。为了简化书写，会在课程中把“::=”简化成一个冒号。
还有一个叫做扩展巴科斯范式 (EBNF)。 它跟 BNF 表达式最大的区别是里面会用到类似正则表达式的一些写法。比如下面这个规则中运用了 * 号，来表示这个部分可以重复 0 到多次：
add -> mul (+ mul)*
这种写法跟标准的 BNF 写法是等价的，但是更简洁。为什么是等价的呢？因为一个项多次重复，就等价于通过递归来推导。从这里我们还可以得到一个推论：就是上下文无关文法包含了正则文法，比正则文法能做更多的事情。
确保正确的优先级
掌握了语法规则的写法之后，那如何用语法规则来保证表达式的优先级。由加法规则推导到乘法规则，保证了 AST 中的乘法节点一定会在加法节点的下层，也就保证了乘法计算优先于加法计算。
听到这儿，你一定会想到，我们应该把关系运算（>、=、<）放在加法的上层，逻辑运算（and、or）放在关系运算的上层。的确如此，我们试着将它写出来：
exp -> or | or = exp
or -> and | or || and
and -> equal | and && equal
equal -> rel | equal == rel | equal != rel
rel -> add | rel > add | rel < add | rel >= add | rel <= add
add -> mul | add + mul | add - mul
mul -> pri | mul * pri | mul / pri
这里表达的优先级从低到高是：赋值运算、逻辑运算（or）、逻辑运算（and）、相等比较（equal）、大小比较（rel）、加法运算（add）、乘法运算（mul）和基础表达式（pri）。
实际语言中还有更多不同的优先级，比如位运算等。而且优先级是能够改变的，比如我们通常会在语法里通过括号来改变计算的优先级。不过这怎么表达成语法规则呢？
我们在优先级最高的基础表达式（pri）这里，用括号把表达式包裹起来，递归地引用表达式就可以了。这样的话，只要在解析表达式的时候遇到括号，那么就知道这个是最优先的。这样的话就实现了优先级的改变：
pri -> Id | Literal | (exp)
弄明白优先级的问题以后，我们再来讨论一下结合性这个问题。
确保正确的结合性
在上一讲中，我针对算术表达式写的第二个文法是错的，因为它的计算顺序是错的。“2+3+4”这个算术表达式，先计算了“3+4”然后才和“2”相加，计算顺序从右到左，正确的应该是从左往右才对。
这就是运算符的结合性问题。 什么是结合性呢？同样优先级的运算符是从左到右计算还是从右到左计算叫做结合性。我们常见的加减乘除等算术运算是左结合的，“.”符号也是左结合的。
比如“rectangle.center.x” 是先获得长方形（rectangle）的中心点（center），再获得这个点的 x 坐标。计算顺序是从左向右的。那有没有右结合的例子呢？赋值运算,比如“x = y = 10”。
我们再来回顾一下“2+3+4”计算顺序出错的原因。用之前错误的右递归的文法解析这个表达式形成的简化版本的 AST 如下：
根据这个 AST 做计算会出现计算顺序的错误。不过如果我们将递归项写在左边，就不会出现这种结合性的错误。于是我们得出一个规律：对于左结合的运算符，递归项要放在左边；而右结合的运算符，递归项放在右边。
所以你能看到，我们在写加法表达式的规则时是这样写的：
add -> mul | add + mul
这是我们犯错之后所学到的知识。那么问题来了，大多数二元运算都是左结合的，那岂不是都要面临左递归问题？不用担心，我们可以通过改写左递归的文法，解决这个问题。
消除左递归
递归下降算法不能处理左递归。但并不是所有的算法都不能处理左递归，对于另外一些算法，左递归是没有问题的，比如 LR 算法。
消除左递归，用一个标准的方法，就能够把左递归文法改写成非左递归的文法。以加法表达式规则为例，原来的文法是“add -> add + mul”，现在我们改写成：
add -> mul add'
add' -> + mul add' | ε
ε（读作 epsilon）是空集的意思。即如果add -> mul的情况，add'直接等于ε即可得到该结果。而当有递归时add' -> + mul add'
我们用刚刚改写的规则再次推导一下 “2+3+4”这个表达式，得到了下图中左边的结果：
左边的分析树是推导后的结果。问题是，由于 add’的规则是右递归的，如果用标准的递归下降算法，我们会跟上一讲一样，又会出现运算符结合性的错误。我们期待的 AST 是右边的那棵，它的结合性才是正确的。有没有解决办法呢？
有的。我们仔细分析一下上面语法规则的推导过程。只有第一步是按照 add 规则推导，之后都是按照 add’规则推导，一直到结束。
如果用 EBNF 方式表达，也就是允许用 * 号和 + 号表示重复，上面两条规则可以合并成一条：
add -> mul (+ mul)*
写成这样有什么好处呢？能够优化我们写算法的思路。对于 (+ mul)* 这部分，我们其实可以写成一个循环，而不是一次次的递归调用。伪代码如下：
mul();
while(next token is +){
mul()
createAddNode
}
在研究递归函数时，有一个概念叫做尾递归， 尾递归函数的最后一句是递归地调用自身。
编译程序通常都会把尾递归转化为一个循环语句，使用的原理跟上面的伪代码是一样的。相对于递归调用来说，循环语句对系统资源的开销更低，因此，把尾递归转化为循环语句也是一种编译优化技术。
好了，我们继续左递归的话题。现在我们知道怎么写这种左递归的算法了：
func additive(tokens *TokenReader)*ASTNode{
child1 := multiplicative(tokens)// 应用 add 规则
node := child1
if child1 != nil{
for {// 循环应用 add'
token := tokens.peek()
if token != nil && (token.getType() == TtPlus || token.getType() == TtMinus){
tokens.read() // 读出加号
child2 := multiplicative(tokens)// 计算下级节点
if child2 != nil{
node = NewASTNode(AstNAdditive, token.getText())
node.addChildren(child1) // 注意，新节点在顶层，保证正确的结合性
node.addChildren(child2)
child1 = node
}else{
errorReturn("表达式错误，加号右边缺少变量")
}
}else{
break
}
}
}
return node
}
你可能看的有点迷糊，我们来画图举例：
我们模拟进行2+3+4的操作。一开始运用add规则读出2这个node，星号代表该node为additive的返回值。本次执行return node会进行三次改变。这是第一次。接着我们进入for循环，读取到+号后接着读取下一个node，3。然后新建node，类型为additive，并把2和3作为它的子节点。现在return node改为新建的这个node。
接着继续循环。获取node 4，并重复上述过程。最后在循环中判断下一个token不是加号或减号，于是退出。
修改完后，再次运行语法分析器分析“2+3+4+5”，会得到正确的 AST：
解析： 2 + 3 + 4 + 5;
Programm pwc
Additive +
Additive +
Additive +
IntLiteral 2
IntLiteral 3
IntLiteral 4
IntLiteral 5
这样就把左递归问题解决了。
小结
- 优先级是通过在语法推导中的层次来决定的，优先级越低的，越先尝试推导。
- 结合性是跟左递归还是右递归有关的，左递归导致左结合，右递归导致右结合。
- 左递归可以通过改写语法规则来避免，而改写后的语法又可以表达成简洁的 EBNF 格式，从而启发我们用循环代替右递归。
