前言
动态规划专题，从简到难通关动态规划。
每日一题
今天的题目是 123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入： prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出： 6 解释： 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入： prices = [1,2,3,4,5] 输出： 4 解释： 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入： prices = [7,6,4,3,1] 输出： 0 解释： 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入： prices = [1] 输出： 0
提示：
1 <= prices.length <= 1050 <= prices[i] <= 105
题解
动态规划
- dp数组以及下标的含义
dp[i][0]表示在第i天，如果不进行任何操作，所能获得的最大利润。dp[i][1]表示在第i天，如果进行了第一次买入操作，所能获得的最大利润。dp[i][2]表示在第i天，如果进行了第一次卖出操作，所能获得的最大利润。dp[i][3]表示在第i天，如果进行了第二次买入操作，所能获得的最大利润。dp[i][4]表示在第i天，如果进行了第二次卖出操作，所能获得的最大利润。
dp[i][j] 中 i表⽰第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表⽰第i天状态j所剩最⼤现⾦
- 确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作⼀：第i天买⼊股票了，那么
dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i] - 操作⼆：第i天没有操作，⽽是沿⽤前⼀天买⼊的状态，即：
dp[i][1] = dp[i - 1][1]
所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
dp[i][2]也有两个操作:
- 操作⼀：第i天买⼊股票了，那么
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i] - 操作⼆：第i天没有操作，⽽是沿⽤前⼀天卖出的状态，即：
dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以 dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
- dp数组如何初始化
初始化这个状态数组时，我们需要考虑的是 “第 0 天”的情况.
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第⼀次买⼊的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第⼀次卖出的操作，dp[0][2] = 0;
第0天做第二次买⼊的操作，dp[0][3] = -prices[0];
第0天做第二次卖出的操作，dp[0][4] = 0;
- 确定遍历顺序
从递推公式可得，一定是从前向后遍历，因为递推公式中的每一项都需要依赖前一项的值。
代码
function maxProfit(prices: number[]): number {
if (prices.length === 0) return 0;
const dp = Array.from({ length: prices.length }, () => [0, 0, 0, 0, 0]);
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][4];
};
