搭配购买（并查集+01背包）搭配购买（From Acwing） 2023年5月11日午夜东风梦，一庭明月香。媚条无力倦

题目描述

Joe觉得云朵很美，决定去山上的商店买一些云朵。

商店里有 $n$ 朵云，云朵被编号为 $1,2,…,n$ ，并且每朵云都有一个价值。

但是商店老板跟他说，一些云朵要搭配来买才好，所以买一朵云则与这朵云有搭配的云都要买。

但是Joe的钱有限，所以他希望买的价值越多越好。

输入格式

第 $1$ 行包含三个整数 $n，m，w$ ，表示有 $n$ 朵云， $m$ 个搭配，Joe有 $w$ 的钱。

第 $2∼n+1$ 行，每行两个整数 $c_i，d_i$ ，表示 $i$ 朵云的价钱和价值。

第 $n+2∼n+1+m$ 行，每行两个整数 $u_i，v_i$ ，表示买 $u_i$ 就必须买 $v_i$ ，同理，如果买 $v_i$ 就必须买 $u_i$ 。

输出格式

一行，表示可以获得的最大价值。

数据范围

$1≤n≤10000$ ,
$0≤m≤5000$ ,
$1≤w≤10000$ ,
$1≤c_i≤5000$ ,
$1≤d_i≤100$ ,
$1≤u_i,v_i≤n$ ,

输入样例：

输出样例：

题目分析

本题的解题思路是先用 并查集 将物品重新分类，然后再用 01背包 选择物品。

分析题目，每个物品可看作拥有体积 $v$ 和价值 $w$ ，Joe 则拥有一个体积为 $m$ 的背包，相较于一般的01背包，本题主要是将一些物品归为一个物品，其中体积以及价值均求和。

接下来，我们便可以使用并查集的思想，将有联系的物品的性质累加到这条关系链中的一个物品之上，注意每个物品对此关系链的根节点的贡献只有一次。

然后再利用01背包的思想，枚举所有物品链的根节点 $(x=p[x])$ ，对其进行选择。

最终复杂度为 $O(nm)$ 。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 10010;

int n, q, m;
int v[N], w[N];
int p[N], f[N];

int find(int x)
{
    if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin >> n >> q >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i], p[i] = i;
    while (q --)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a == b) continue;
        p[b] = a;
        w[a] += w[b];
        v[a] += v[b];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if (find(i) != i) continue;
        // cout << i << ' ' << v[i] << ' ' << w[i] << "\n";
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}

碎碎念

下午时，坐在宿舍阳台上，听着校园的广播，云朵确实很美~

只是不知道这样的日子还有多少