数据结构-最小生成树

前言

最小生成树可以用一个实际例子来说明：就像日常生活中修路一样，如果一个地区有5个建筑，它们之间还没有建造公路连通它们，建筑之间修路的成本也不一样。那么，该如何建造公路将它们连通起来，并使修路的开销最小呢？这就是最小生成树问题的具象化体现。

概念

图和树不一样，图当中存在回路，不同顶点之间相连的边的权值也不相同，在图中找到一个路径（或者说一个树），使得所有顶点连通的同时边的权值最小，那么这棵树就是这个图的最小生成树。

一棵树最小生成树可能并不唯一，但是它们的总权值都是一致的，都是生成树权值的最小值。

计算机中求得一个图的最小生成树一般有两种算法，分别是Prim算法和Kruskal算法。

Prim（普里姆）算法

原理

Prim算法基于顶点出发。设有任意图G，G中的顶点数目为$n$，在图G中任选一个顶点a为起点，寻找距离该顶点最近的顶点b，并记录这些顶点和边的权值。此时已经遍历$2$个顶点和$1$条边。之后再次寻找距离顶点集合（此时顶点集合中有顶点a和顶点b）最近的顶点c，并记录下该顶点和最近边的权值，以此类推。直到所有顶点全部遍历完成。此时就能得到一棵结点数目为$n$，边数目为$n-1$的路径，该路径没有回路，是图G的一棵权值最小的生成树。

性能

时间复杂度：Prim算法的空间复杂度为$O(V^2)$

适用：Prim算法的实现并不依赖于图当中边的数目，即与$E$无关，因此它适用于顶点少而边较多的稠密图。

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

原理

和Prim算法不同，Kruskal算法基于最短边出发。设有任意图G，G中的边数为$E$，在G中选中一条权值最低的边a，并记录该条边连接的两个顶点。之后再在G中寻找一条权值最低的边b，但这条边的两端顶点最多只能有一个顶点被记录过，否则只能寻找除该边外权值最低的边，以此类推。直到所有顶点全部被遍历完成。此时就会得到该图G的最小生成树。

性能

时间复杂度：由于Kruskal算法采用堆结构存放边集，因此每次选择新边时只需要$O(\log_2E)$的时间，算法总的时间复杂度为$O(E\log_2E)$。

适用：不难看出，Kruskal算法的时间复杂度只与边有关，因此它适用于顶点多但是边较少的稀疏图。