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  583.两个字符串的删除操作

  72.编辑距离

解题过程

1、583.两个字符串的删除操作

给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和  word2 **相同所需的最小步数。

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

思路： 这里两个字符串都可以删除了。

动态规划五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[i][j]：以i - 1为结尾的字符串word1，和以j - 1为结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数
• 确定递推公式
  • 当word1[i - 1]和word2[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • 当word1[i - 1]和word2[j - 1]不相等的时候
    • 删除word1[i - 1]，最少操作次数dp[i - 1][j] + 1
    • 删除word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
    • 同时删除word1[i - 1]和word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
    • dp[i][j] = min{dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 2}
    • 而dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1)
• dp数组初始化
  • dp[i][0] = i
  • dp[0][j] = j
• 确定遍历顺序
  • 从上到下、从左到右
• 举例推导dp数组

用最长公共子序列的方法来求解：

• 只要求出两个字符串的最长公共子序列长度即可，那么除了最长公共子序列之外的字符都是必须删除的，最后用两个字符串的总长度减去两个最长公共子序列的长度就是删除的最少步数。

// dp数组中存储word1和word2最长相同子序列的长度
class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];

        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        return len1 + len2 - dp[len1][len2] * 2;
    }
}

通过删除字符的个数来求解：

// dp数组中存储需要删除的字符个数
class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int[][] dp = new int[word1.length() + 1][word2.length() + 1];
        for (int i = 0; i < word1.length() + 1; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j < word2.length() + 1; j++) dp[0][j] = j;
        
        for (int i = 1; i < word1.length() + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < word2.length() + 1; j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1] + 2,
                                        Math.min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1));
                }
            }
        }
        
        return dp[word1.length()][word2.length()];
    }
}

2、72.编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

思路： 用动态规划的思想去分析，这道题也能变得很简单。

动态规划五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义
  • dp[i][j]表示以下标i - 1为结尾的字符串word1，和以下标j - 1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]
• 确定递推公式
  • if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
  • if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
    • 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
    • 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
    • 添加元素：word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，
    • 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
  • 综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

递推公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

• dp数组如何初始化
  • dp[i][0] = i
  • dp[0][j] = j
• 确定遍历顺序：从左往右，从上到下
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
• 举例推导dp数组

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        // 初始化
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= len2; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}