烽火传递（单调队列优化DP）

题目描述

烽火台是重要的军事防御设施，一般建在交通要道或险要处。

一旦有军情发生，则白天用浓烟，晚上有火光传递军情。

在某两个城市之间有 $n$ 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。

为了使情报准确传递，在连续 $m$ 个烽火台中至少要有一个发出信号。

现在输入 $n,m,$ 和每个烽火台的代价，请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。

输入格式

第一行是两个整数 $n,m,$ 具体含义见题目描述；

第二行 $n$ 个整数表示每个烽火台的代价 $a_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1≤m≤n≤2×10^5$,
$0≤a_i≤1000$

输入样例：

5 3
1 2 5 6 2

输出样例：

4

题目分析

这是一道 单调队列优化DP 的题目。

首先对于烽火台 $i$，我们知道在烽火台 $i-m\sim i-1$ 中至少要有一个烽火台投入使用，经过在此分析后，可知有且只有一个投入使用，若多于一个则中间的烽火台可以排除不用。

于是，我们定义 $f[i]$ 表示在烽火台 $i$ 使用的条件下，烽火从起点城市传递到烽火台 $i$ 的最小代价。这时我们可以将起末城市看作代价为 $0$ 的烽火台。对于每个烽火台，我们需要维护 $f[j]\;(i-m\le j\le i-1)$ 中的最小值。

通过前期的学习，我们可以利用单调队列维护定长区间最小值的方式来进行解答，每次烽火台 $i$ 的状态转移只需要取队头下标所代表的烽火台 $f[j]$ 进行转移。

最终答案为 $f[n+1]$。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 200010;

int n, m;
int h[N], f[N], q[N];
int hh, tt;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> h[i];
    for (int i = 1; i <= n + 1; i ++)
    {
        if (q[hh] < i - m) hh ++;
        f[i] = f[q[hh]] + h[i];
        while (hh <= tt && f[q[tt]] >= f[i]) tt --;
        q[++ tt] = i;
    }
    cout << f[n + 1] << "\n";
    return 0;
}