四、函数 $\lceil \lg n \rceil !$ 多项式有界吗？函数 $\lceil \lg \lg n \rceil !$ 多项式有界吗？

文心一言：

chatgpt：

对于第一个问题，函数 $\lceil \lg n \rceil !$ 是阶乘的形式，可以证明它是超多项式增长的，因此不是多项式有界的。

对于第二个问题，函数 $\lceil \lg \lg n \rceil !$ 的增长速度比 $\lceil \lg n \rceil !$ 慢很多。虽然 $\lceil \lg \lg n \rceil !$ 不是多项式，但是它是多项式有界的，也就是说，存在一个多项式 $p(n)$ 和常数 $c$，使得当 $n$ 足够大时，$\lceil \lg \lg n \rceil ! \leq c \cdot p(n)$。这可以使用斯特林公式来证明。

五、如下两个函数中，哪一个渐进更大些：$\lg(\lg^* n)$还是 $\lg^*(\lg n)$？

文心一言：

chatgpt：

在这里，我们将 $\lg^* n$ 和 $\lg^*(\lg n)$ 看作一个函数 $f(n)$ 和 $g(n)$，分别表示对数幂函数的不同变形。

首先，我们知道对数幂函数增长非常缓慢，它们比多项式增长更慢，但比指数增长更快。因此，我们可以考虑使用渐进符号来比较这两个函数的上界关系。

由于 $\lg(\lg^* n) = \Theta(\lg f(n))$ 和 $\lg^*(\lg n) = \Theta(\lg g(n))$，因此我们只需要比较 $f(n)$ 和 $g(n)$ 的增长速度即可。

根据定义，对数幂函数 $f(n)$ 表示在连续对数的情况下，最后得到的结果为 1 所需的次数。而对数幂函数 $g(n)$ 表示对数字 $n$ 进行重复对数直到结果小于或等于 1 的次数。因此，$\lg^*(\lg n)$ 可以看作是 $\log$ 函数的反函数，而 $\lg(\lg^* n)$ 则表示连续应用反函数的次数。

由于反函数的增长速度要快于原函数，因此可以推断出 $\lg^*(\lg n)$ 的增长速度要快于 $\lg(\lg^* n)$，也就是说 $\lg^*(\lg n)$ 是渐进更大的函数。

因此，$\lg^*(\lg n)$ 的渐进增长速度要快于 $\lg(\lg^* n)$。