【Unity】游戏数学：使用Unity构建可视化数学函数图形(二）(上）

小游戏工坊
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数学曲面

  •  创建函数库。
  • 使用委托和枚举类型。
  • 使用网格显示2D函数。
  •  在三维空间中定义曲面。

它是构建图形教程的延续，所以我们不会开始一个新项目。这一次，我们将能够显示多个和更复杂的功能。

【Unity】探索数学世界：使用Unity构建可视化数学函数图形(一）(上） - 掘金 (juejin.cn)

本教程使用Unity 2020.3.6f1制作。

组合几个波以创建复杂曲面

函数库

完成上一个教程后，我们有一个点图，显示了一个动画正弦波，而在播放模式。还可以示出其他数学函数。你可以改变代码，函数也会沿着改变。您甚至可以在Unity编辑器处于播放模式时执行此操作。执行将暂停，保存当前游戏状态，然后再次编译脚本，最后重新加载游戏状态并继续游戏。这称为热更新。不是所有的东西都能热更新，但我们的图表可以。

虽然在播放模式期间更改代码可能很方便，但在多个功能之间来回切换并不是一种方便的方式。如果我们可以通过图形的配置选项来更改功能，那就更好了。

库类

我们可以在 **Graph** 中声明多个数学函数，但让我们将该类专用于显示函数，使其不知道确切的数学方程。这是关注点的专门化和分离的一个例子。

创建一个新的 **FunctionLibrary** C#脚本，并将其放在 Scripts 文件夹中，紧挨着 **Graph** 。您可以使用菜单选项创建新资源或复制并重命名 **Graph** 。在任何一种情况下，都要清除文件内容，并从使用 UnityEngine 开始，并声明一个不扩展任何内容的空的 **FunctionLibrary** 类。

using UnityEngine;

public class FunctionLibrary {}

这个类不会是一个组件类型。我们也不会创建它的对象实例。相反，我们将使用它来提供一个可公开访问的方法集合，这些方法表示数学函数，类似于Unity的 [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html) 。

为了表示这个类不被用作对象模板，将其标记为静态，在 **class** 之前写入 **static** 关键字。

public static class FunctionLibrary {}

函数

我们的第一个函数将是与 **Graph** 当前显示的相同的正弦波。我们需要为它创建一个方法。这与创建 [Awake](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Awake.html) 或 [Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) 方法的工作原理相同，只是我们将其命名为 Wave 。

public static class FunctionLibrary {

void Wave () {}
}

默认情况下，方法是实例方法，这意味着必须在对象实例上调用它们。为了让它们直接在类级别工作，我们必须将其标记为静态，就像 **FunctionLibrary** 本身一样。

static void Wave () {}

为了使它可以公开访问，也给予它一个 **public** 访问修饰符。

public static void Wave () {}

该方法将表示我们的数学函数 f（x，t）= sin（π（x + t））。这意味着它必须产生一个结果，该结果必须是一个浮点数。因此，函数的返回类型应该是 **float** ，而不是 **void** 。

public static float Wave () {}

接下来，我们必须将这两个参数添加到方法的参数列表中，就像数学函数一样。唯一的区别是我们必须在每个参数前面写上类型，即 **float** 。

public static float Wave (float x, float t) {}

现在我们可以将计算正弦波的代码放入方法中，使用其 x 和 t 参数。

public static float Wave (float x, float t) {
Mathf.Sin(Mathf.PI * (x + t));
}

最后一步是显式地指出方法的结果是什么。因为这是一个 **float** 方法，所以当它完成时，它必须返回一个 **float** 值。我们通过写 **return** 来表示这一点，后面跟着结果应该是什么，这是我们的数学计算。

public static float Wave (float x, float t) {
return Mathf.Sin(Mathf.PI * (x + t));
}

现在可以在 **Graph**.[Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) 中调用这个方法，使用 position.x 和 time 作为其参数的参数。其结果可用于设置点的Y坐标，而不是显式的数学方程。

void Update () {
float time = Time.time;
for (int i = 0; i < points.Length; i++) {
Transform point = points[i];
Vector3 position = point.localPosition;
position.y = FunctionLibrary.Wave(position.x, time);
point.localPosition = position;
}
}

 隐式使用类型

我们将在 **FunctionLibrary** 中使用 [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html).PI 、 [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html).Sin 和 [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html) 中的其他方法。如果我们可以编写这些，而不必一直显式地提到类型，那就太好了。我们可以通过在 **FunctionLibrary** 文件的顶部添加另一个 **using** 语句来实现这一点，其中额外的 **static** 关键字后跟显式的 UnityEngine.[Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html) 类型。这使得该类型的所有常量和静态成员都可以使用，而无需显式提及该类型本身。

using UnityEngine;

using static UnityEngine.Mathf;

public static class FunctionLibrary { … }

现在我们可以通过省略 [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html) 来缩短 Wave 中的代码。

public static float Wave (float x, float z, float t) {
return Sin(PI * (x + t));
}

 第二个功能

让我们添加另一个函数方法。这次我们将使用多个正弦波来创建一个稍微复杂一点的函数。开始复制 Wave 方法并将其重命名为 MultiWave 。

public static float Wave (float x, float t) {
return Sin(PI * (x + t));
}

public static float MultiWave (float x, float t) {
return Sin(PI * (x + t));
}

我们将保留已有的正弦函数，但添加一些额外的东西。为了简化操作，在返回之前将当前结果赋给一个 y 变量。

public static float MultiWave (float x, float t) {
float y = Sin(PI * (x + t));
return y;
}

增加正弦波复杂度的最简单方法是增加另一个频率加倍的正弦波。这意味着它的变化速度是正弦函数的两倍，这是通过将正弦函数的参数乘以2来实现的。同时，我们将这个函数的结果减半。这使新正弦波的形状与旧正弦波相同，但大小减半。

float y = Sin(PI * (x + t));
y += Sin(2f * PI * (x + t)) / 2f;
return y;

这给出了数学函数

f（x，t）=sin（π（x+t））+sin（2π（x+t））2f（x，t）= sin（π（x + t））+\frac {sin（2 π（x + t））} {2}

。由于正弦函数的正负极值都是1和−1，因此这个新函数的最大值和最小值可能是1.5和−1.5。为了保证我们保持在-1-1范围内，我们应该将总和除以1.5。

return y / 1.5f;

除法比乘法需要更多的工作，所以一般来说，乘法比除法更好。然而，像 1f / 2f 和 2f * [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html).PI 这样的常量表达式已经被编译器简化为一个数字。所以我们可以重写代码，只在运行时使用乘法。我们必须确保首先使用操作顺序和括号来减少常数部分。

y += Sin(2f * PI * (x + t)) * (1f / 2f);
return y * (2f / 3f);

我们也可以直接写 0.5f 而不是 1f / 2f ，但是1.5的逆不能用十进制表示法精确地写，所以我们将继续使用 2f / 3f ，编译器将其简化为具有最大精度的浮点表示。

y += 0.5f * Sin(2f * PI * (x + t));

现在使用这个函数代替 **Graph**.[Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) 中的 Wave ，看看它是什么样子。

position.y = FunctionLibrary.MultiWave(position.x, time);

两个正弦波之和

 两个正弦波之和

你可以说，一个较小的正弦波现在跟随一个较大的正弦波。我们也可以让较小的一个沿着较大的一个滑动，例如通过将较大的波浪的时间减半。结果将是一个函数，它不仅随着时间的推移而滑动，而且会改变形状。现在需要四秒钟来重复该模式。

float y = Sin(PI * (x + 0.5f * t));
y += 0.5f * Sin(2f * PI * (x + t));

02 00_00_00-00_00_30.gif

变形波

在编辑器中选择函数

接下来我们可以做的是添加一些代码，以便可以控制 **Graph** 使用哪个方法。我们可以使用滑块来实现这一点，就像图的分辨率一样。由于我们有两个函数可供选择，因此我们需要一个范围为0-1的可序列化整数字段。将其命名为 function ，以便它控制的内容显而易见。

[SerializeField, Range(10, 100)]
int resolution = 10;

[SerializeField, Range(0, 1)]
int function;

现在我们可以在 [Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) 的循环中检查 function 。如果为零，则图形应显示 Wave 。为了做出选择，我们将使用 **if** 语句，后面跟着一个表达式和一个代码块。它的工作原理类似于 **while** ，但它不会循环回去，因此该块要么被执行，要么被跳过。在这种情况下，测试是 function 是否等于零，这可以用 == 相等运算符来完成。

void Update () {
float time = Time.time;
for (int i = 0; i < points.Length; i++) {
Transform point = points[i];
Vector3 position = point.localPosition;
if (function == 0) {
position.y = FunctionLibrary.Wave(position.x, time);
}
point.localPosition = position;
}
}

我们可以在if-block后面加上 **else** 和另一个块，如果测试失败，它就会被执行。在这种情况下，图形应显示 MultiWave 。

if (function == 0) {
position.y = FunctionLibrary.Wave(position.x, time);
}
else {
position.y = FunctionLibrary.MultiWave(position.x, time);
}

这使得可以通过图形的检查器控制功能，即使我们处于播放模式。

纹波函数

让我们向库中添加第三个函数，它可以产生类似波纹的效果。我们通过使正弦波远离原点来创建它，而不是总是以相同的方向行进。我们可以根据它到中心的距离来做这件事，这是X的绝对值。在 [Mathf](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/Mathf.html).Abs 的帮助下，在一个新的 **FunctionLibrary**.Ripple 方法中只计算这个值。将距离存储在 d 变量中，然后返回它。

public static float Ripple (float x, float t) {
float d = Abs(x);
return d;
}

为了显示它，将 **Graph**.function 的范围增加到2，并在 [Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) 中为 Wave 方法添加另一个块。我们可以通过在 **else** 之后直接写入另一个 **if** 来链接多个条件块，因此它成为一个else-if块，当 function 等于1时应该执行。然后为涟漪添加一个新的 **else** 块。

[SerializeField, Range(0, 2)]
…

void Update () {
float time = Time.time;
for (int i = 0; i < points.Length; i++) {
Transform point = points[i];
Vector3 position = point.localPosition;
if (function == 0) {
position.y = FunctionLibrary.Wave(position.x, time);
}
else if (function == 1) {
position.y = FunctionLibrary.MultiWave(position.x, time);
}
else {
position.y = FunctionLibrary.Ripple(position.x, time);
}
point.localPosition = position;
}
}

Absolute X.

回到 **FunctionLibrary**.Ripple ，我们使用距离作为正弦函数的输入，并将其作为结果。具体来说，我们将使用 y = sin（4 π d），其中 d =| x|我𝑑的天|𝑥|所以涟漪在图的域中上下多次。

public static float Ripple (float x, float t) {
float d = Abs(x);
float y = Sin(4f * PI * d);
return y;
}


距离的正弦

结果很难从视觉上解释，因为Y变化太大。我们可以通过降低波的振幅来减少它。但是涟漪并没有固定的振幅，它会随着距离的增加而减小。所以让我们把我们的函数变成

y=sin（4πd）1+10dy=\frac {sin（4 π d）} {1 + 10 d}
float y = Sin(4f * PI * d);
return y / (1f + 10f * d);

画龙点睛的一笔是动画涟漪。为了使它向外流动，我们必须从传递给正弦函数的值中减去时间。让我们使用 π t，𝜋𝑡因此最终函数变为

y=sin（π（4d−t））1+10dy=\frac {sin（π（4 d − t））} {1 + 10 d}
float y = Sin(PI * (4f * d - t));
return y / (1f + 10f * d);

03 00_00_00-00_00_30.gif

   涟漪型动画

管理方法

一系列条件块适用于两个或三个函数，但当试图支持更多函数时，它会变得非常快。如果我们可以根据一些标准向我们的库请求对方法的引用，然后重复调用它，那就方便多了。

委托

可以通过使用委托来获取对方法的引用。委托是一种特殊类型，它定义了某个对象可以引用哪种方法。数学函数方法没有标准的委托类型，但我们可以自己定义。因为它是一个类型，我们可以在它自己的文件中创建它，但由于它是专门为我们的库的方法定义的，我们将在 **FunctionLibrary** 类中定义它，使其成为内部或嵌套类型。

若要创建委托类型，请复制 Wave 函数，将其重命名为 **Function** 并将其代码块替换为分号。这定义了一个没有实现的方法签名。然后，我们通过将 **static** 关键字替换为 **delegate** ，将其转换为委托类型。

public static class FunctionLibrary {

public delegate float Function (float x, float t);

…
}

现在我们可以引入一个 GetFunction 方法，它在给定索引参数的情况下返回一个 **Function** ，使用与循环中使用的相同的if-else逻辑，只是在每个块中我们返回适当的方法而不是调用它。

public delegate float Function (float x, float t);

public static Function GetFunction (int index) {
if (index == 0) {
return Wave;
}
else if (index == 1) {
return MultiWave;
}
else {
return Ripple;
}
}

接下来，我们使用这个方法在 **Graph**.[Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) 的开头，基于 function 获取一个函数委托，并将其存储在一个变量中。因为这段代码不在 **FunctionLibrary** 中，所以我们必须将嵌套的委托类型称为 **FunctionLibrary**.**Function** 。

void Update () {
FunctionLibrary.Function f = FunctionLibrary.GetFunction(function);
…
}

然后在循环中调用委托变量而不是显式方法。

for (int i = 0; i < points.Length; i++) {
Transform point = points[i];
Vector3 position = point.localPosition;









position.y = f(position.x, time);
point.localPosition = position;
}

 代理委托数组

我们已经简化了 **Graph**.[Update](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/MonoBehaviour.Update.html) ，但我们只将if-else代码移到了 **FunctionLibrary**.GetFunction 。我们可以完全摆脱这段代码，将其替换为索引数组。开始将 functions 数组的静态字段添加到 **FunctionLibrary** 。此数组仅供内部使用，因此不要将其公开。

public delegate float Function (float x, float t);

static Function[] functions;

public static Function GetFunction (int index) { … }

我们总是要把相同的元素放在这个数组中，这样我们就可以显式地定义它的内容作为它声明的一部分。这是通过在花括号之间分配逗号分隔的数组元素序列来完成的。最简单的是一个空列表。

static Function[] functions = {};

这意味着我们立即得到一个数组实例，但它是空的。更改它，使其包含对我们的方法的委托，顺序与前面相同。

static Function[] functions = { Wave, MultiWave, Ripple };

GetFunction 方法现在可以简单地索引数组以返回适当的委托。

public static Function GetFunction (int index) {
return functions[index];
}

枚举

一个整数滑块可以工作，但是0代表波函数等等并不明显。如果我们有一个包含函数名称的下拉列表，会更清楚。我们可以使用枚举来实现这一点。

枚举可以通过定义 **enum** 类型来创建。我们将再次在 **FunctionLibrary** 中执行此操作，这次将其命名为 **FunctionName** 。在这种情况下，类型名称后面是一个大括号内的标签列表。我们可以使用数组元素列表的副本，但没有分号。请注意，这些都是简单的标签，它们不引用任何东西，尽管它们遵循与类型名称相同的规则。我们有责任保持两份名单一致。

public delegate float Function (float x, float t);

public enum FunctionName { Wave, MultiWave, Ripple }

static Function[] functions = { Wave, MultiWave, Ripple };

现在将索引参数 GetFunction 替换为类型为 **FunctionName** 的name参数。这表明参数必须是有效的函数名。

public static Function GetFunction (FunctionName name) {
return functions[name];
}

枚举可以被认为是语法糖。默认情况下，枚举的每个标签都表示一个整数。第一个标签对应0，第二个标签对应1，依此类推。所以我们可以用名字来索引数组。但是，编译器会抱怨枚举不能隐式转换为整数。我们必须显式地执行此强制转换。

return functions[(int)name];

最后一步是将 **Graph**.function 字段的类型更改为 **FunctionLibrary**.**FunctionName** 并删除其 [Range](http://docs.unity3d.com/Documentation/ScriptReference/RangeAttribute.html) 属性。


[SerializeField]
FunctionLibrary.FunctionName function;

**Graph** 的检查器现在显示一个包含函数名称的下拉列表，大写单词之间添加了空格。

   函数下拉列表。

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