LeetCode 279. Perfect Squares

LeetCode 279. Perfect Squares

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

 

示例 1：

输入： n = 12
输出： 3 
解释： 12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入： n = 13
输出： 2
解释： 13 = 4 + 9

 

提示：

• 1 <= n <= 104

算法1

(动态规划) O(n$\sqrt{n}$)
设 f(i) 表示通过平方数组成 i 所需要完全平方数的最少数量。
初始时，f(0)=0，其余待定。
转移时，对于一个 i，枚举 j，f(i)=min(f(i−j∗j)+1)，其中 1≤j≤$\sqrt{i}$。
最终答案为 f(n)。

时间复杂度

实际复杂度为 S=$\sum_{i=1}^n$ $\sqrt{i}$，通过积分近似上界，得到 S=O(n$\sqrt{n}$)。

空间复杂度

需要额外 O(n)的空间存储状态。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> f(n + 1, n);
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j * j <= i; j++)
                f[i] = min(f[i], f[i - j * j] + 1);

        return f[n];
    }
};

算法2

(宽度优先搜索) O(n$\sqrt{n}$)
通过宽搜来优化动态规划的效率，可以将整个过程看做一张图，每个数字都是一个点，两个数字之间差距为平方数时有一条单向边。
使用宽搜来求从 0 到 n 的最短路。

时间复杂度

宽搜的时间复杂度为 O(n+m)，这里的点数，也就是数字个数 n，边数同算法 1 中的分析是 O($\sqrt{i}$)。
故总时间复杂度仍然是 O(n$\sqrt{n}$)，但由于宽搜可能能快速找到到结点 n 的路径，常数会比较优。

空间复杂度

需要额外 O(n) 的空间存储队列和距离数组。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> f(n + 1, n);
        queue<int> q;
        f[0] = 0;
        q.push(0);
        while (!q.empty()) {
            int s = q.front();
            if (s == n)
                break;
            q.pop();
            for (int i = 1; s + i * i <= n; i++)
                if (f[s + i * i] > f[s] + 1) {
                    f[s + i * i] = f[s] + 1;
                    q.push(s + i * i);
                }
        }
        return f[n];
    }
};

算法3

(数学) O($\sqrt{n}$+log(n))
根据 拉格朗日四平方和定理，可以得知答案必定为 1, 2, 3, 4 中的一个。
其次根据 勒让德三平方和定理，可以得知当 n=$4^a$(8b+7)时，n 不能写成 3 个数的平方和。
然后可以根据以上定理和枚举，判断出答案是否为 1, 2, 3，若都不是则答案为 4。

时间复杂度

判断平方数的时间复杂度为 O(1)，枚举答案为 2 的时间复杂度为O($\sqrt{n}$)，判断答案是否为 4 的时间复杂度为 O(log(n))，故总时间复杂度为 O($\sqrt{n}$+log(n))。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        if ((int)sqrt(n) * (int)sqrt(n) == n)
            return 1;
        int t = n;
        while ((t & 3) == 0) t >>= 2;
        if (((t - 7) & 7) == 0)
            return 4;

        for (int i = 1; i * i <= n; i++)
            if ((int)(sqrt(n - i * i)) * (int)(sqrt(n - i * i)) == n - i * i)
                return 2;

        return 3;
    }
};