旅行问题（单调队列优化DP）

题目描述

John 打算驾驶一辆汽车周游一个环形公路。

公路上总共有 $n$ 个车站，每站都有若干升汽油（有的站可能油量为零），每升油可以让汽车行驶一千米。

John 必须从某个车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向走遍所有的车站，并回到起点。

在一开始的时候，汽车内油量为零，John 每到一个车站就把该站所有的油都带上（起点站亦是如此），行驶过程中不能出现没有油的情况。

任务：判断以每个车站为起点能否按条件成功周游一周。

输入格式

第一行是一个整数 $n$，表示环形公路上的车站数；

接下来 $n$ 行，每行两个整数 $p_i,d_i$，分别表示表示第 $i$ 号车站的存油量和第 $i$ 号车站到 顺时针方向 下一站的距离。

输出格式

输出共 $n$ 行，如果从第 $i$ 号车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向行驶，能够成功周游一圈，则在第 $i$ 行输出 TAK，否则输出 NIE。

数据范围

$3≤n≤10^6$,
$0≤p_i≤2×10^9$,
$0≤d_i≤2×10^9$

输入样例：

5
3 1
1 2
5 2
0 1
5 4

输出样例：

TAK
NIE
TAK
NIE
TAK

题目分析

这是一道 单调队列优化DP 的题目。

本题解法与以往不同，且较为繁琐且又对边界处理的要求，在我看来是一道很好的题目。

首先我们可以发现本题为一环形结构，对于环形结构的处理总是麻烦的，于是我们将其拆解为链状结构。即原本为 $1~n$ 的环形，拆解后为 $1\sim n \rightarrow1\sim n$ 总长为 $2n$ 的链形。

我们将顺时针和逆时针分为两种情况来看，两种情况类似分析。

首先我们统计每个点的油量 $w_i$ 和它到下一个点的路径 $d_i$，将当前点重新添加一个性质 $w_i-d_i$，并求其前缀和 $s_i$。

对于顺时针，我们判断从点 $i$ 开始能够环绕一圈回到起点，即满足 $s_j-s_{i-1}>0(i\le j< i+n)$，这个判断的意思是对于其路径上的所有点，保证到达中途点时油量大于 $0$。

于是，我们可以用单调队列优化上述式子，$min\{s_j\}-s_{i-1}>0$，队头为遍历过程中 $s_j$ 的最小值。相关的过程与之前题目类似。

逆时针方法类比同上。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000010;

bool flg[N];
int d[N], w[N];
long long s[N];
int q[N], hh, tt = -1;
int n;

void check(int op)
{
    for (int i = 1; i < n + n; i ++)
    {
        if (hh <= tt && q[hh] <= i - n) hh ++;
        while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt --;
        q[++ tt] = i;
        if (i >= n) 
        {
            if (op) flg[i - n + 1] |= (s[q[hh]] - s[i - n] >= 0);
            else flg[n - (i - n + 1) + 1] |= (s[q[hh]] - s[i - n] >= 0);
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> w[i] >> d[i];
        s[i] = s[i + n] = w[i] - d[i];
    }
    for (int i = 1; i < n + n; i ++) s[i] += s[i - 1];

    check(1);

    hh = 0, tt = -1; d[0] = d[n];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        s[i] = s[i + n] = w[n - i + 1] - d[n - i];
    }
    for (int i = 1; i < n + n; i ++) s[i] += s[i - 1];

    check(0);

    for (int i = 1; i <= n; i ++) cout << (flg[i] ? "TAK" : "NIE") << "\n";
    return 0;
}