修剪草坪（单调队列优化DP）

题目描述

FJ 有 $N$ 只排成一排的奶牛，编号为 $1$ 到 $N$。

每只奶牛的效率是不同的，奶牛 $i$ 的效率为 $E_i$。

编号相邻的奶牛们很熟悉，如果 FJ 安排超过 $K$ 只编号连续的奶牛，那么这些奶牛就会罢工去开派对。

因此，现在 FJ 需要你的帮助，找到最合理的安排方案并计算 FJ 可以得到的最大效率。

注意，方案需满足不能包含超过 $K$ 只编号连续的奶牛。

输入格式

第一行：空格隔开的两个整数 $N$ 和 $K$；

第二到 $N+1$ 行：第 $i+1$ 行有一个整数 $E_i$。

输出格式

共一行，包含一个数值，表示 FJ 可以得到的最大的效率值。

数据范围

$1≤N≤10^5$,
$0≤E_i≤10^9$

输入样例：

5 2
1
2
3
4
5

输出样例：

12

样例解释

FJ 有 5 只奶牛，效率分别为 1、2、3、4、5。

FJ 希望选取的奶牛效率总和最大，但是他不能选取超过 2 只连续的奶牛。

因此可以选择第三只以外的其他奶牛，总的效率为 1 + 2 + 4 + 5 = 12。

题目分析

这是一道 单调队列优化DP 的问题。

像上题一样，本题需要多次求取区间和，则我们先将原数列转化为前缀和数列。

我们定义 $f[i]$ 表示前 $i$ 头奶牛中，满足限制的奶牛的最大效率。

对于第 $i$ 头奶牛，能与其产生关系的是下标为 $i-m+1\sim i-1$ 的奶牛。我们假设从第 $i$ 头奶牛开始，连续向前选择了 $k(0\le k\le m)$ 头奶牛，并且下标为 $i-k$ 的奶牛不选，对于当前方案，其 $f[i]=f[i-k-1]+s[i]-s[i-k]$。

则 $f[i]=max\{f[i-k-1]+s[i]-s[i-k]\}\;(0\le k\le m)$

将 $s[i]$ 提出，得 $f[i]=s[i]+max(f[i-k-1]-s[i-k])\;(0\le k\le m)$

于是我们便可以利用单调队列维护上述 $f[i-k-1]-s[i-k]$ 的最大值啦。

由于对于第一头牛而言，需要其前两个下标有效，则奶牛从 $2$ 开始编号。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 100010;

int q[N], s[N], f[N];
int hh, tt = -1;
int n, m;

signed main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 2; i <= n + 1; i ++) cin >> s[i], s[i] += s[i - 1];
    q[++ tt] = 1;
    for (int i = 2; i <= n + 1; i ++)
    {
        if (q[hh] < i - m) hh ++;
        while (hh <= tt && f[i - 1] - s[i] >= f[q[tt] - 1] - s[q[tt]]) tt --;
        q[++ tt] = i;
        f[i] = s[i] + f[q[hh] - 1] - s[q[hh]];
    }
    cout << f[n + 1];
    return 0;
}