二、证明等式（3.16）：a ^ {\log_b c} = c ^ {\log_b a}。

文心一言：

在这里插入图片描述

chatgpt：

我们需要证明的等式为： $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ 。

首先，将 $\log_b c$ 看作一个变量 $x$ ，那么原式可表示为 $a^x = c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}}$ 。

然后，我们将 $c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}}$ 进一步拆分，得到：

\begin{aligned} c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} &= c^{\log_c b} \\ &= b \end{aligned}

最后，将上述结果代入原式中，有：

\begin{aligned} a^{\log_b c} &= a^x \\ &= c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} \\ &= b^{\log_c b} \\ &= c^{\log_b a} \end{aligned}

因此，我们证明了等式 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ 成立。

在这里插入图片描述

三、证明等式（3.19）：\lg(n!) = \Theta(n \lg n)。并证明 n! = \omega(2 ^ n) 且 n! = o(n^n)。

文心一言：

在这里插入图片描述

chatgpt：

首先，我们证明等式 $\lg(n!) = \Theta(n \lg n)$ 。

由斯特林公式（Stirling's formula），可得：

\ln n! = n \ln n - n + \mathcal{O}(\ln n)

两边同时取以 2 为底的对数，则有：

\begin{aligned} \log_2 n! &= \frac{\ln n!}{\ln 2} \\ &= \frac{n \ln n - n + \mathcal{O}(\ln n)}{\ln 2} \\ &= n \frac{\ln n}{\ln 2} - \frac{n}{\ln 2} + \mathcal{O}\left(\frac{\ln n}{\ln 2}\right) \end{aligned}

因为 $\frac{\ln n}{\ln 2}$ 等于 $\Theta(\log n)$ ，所以可得：

\log_2 n! = \Theta(n \log n)

因此， $\lg(n!) = \Theta(n \lg n)$ 得证。

接下来，我们证明 $n! = \omega(2^n)$ 。根据定义，需要证明：

\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{2^n} = \infty

考虑到：

\begin{aligned} \frac{(n + 1)!}{n!} &= n + 1 \\ &> 2 \end{aligned}

因此， $n!$ 至少每乘以 2 次就要增长一倍，即：

\begin{aligned} n! &= 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \\ &> 2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2 \\ &= 2^n \end{aligned}

因此， $n! = \omega(2^n)$ 成立。

最后，我们证明 $n! = o(n^n)$ 。根据定义，需要证明：

\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0

将 $n!$ 展开，则有：

\begin{aligned} n! &= 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \\ &< n \times n \times n \times \cdots \times n \\ &= n^n \end{aligned}

因此， $\frac{n!}{n^n} < 1$ ，即 $\frac{n!}{n^n} \to 0$ 当 $n \to \infty$ 。因此， $n! = o(n^n)$ 成立。

综上所述，我们证明了等式 $\lg(n!) = \Theta(n \lg n)$ ，以及 $n! = \omega(2^n)$ 和 $n! = o(n^n)$ 。

在这里插入图片描述