第一章 行列式

第二章 矩阵

2.3 逆矩阵

1. 逆矩阵的定义
   $A,B$ 是 $n$ 阶方阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，若 $AB=BA=E$，则称 $A$ 是可逆矩阵，并称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作 $A^{-1}$.

   • 矩阵可逆的充要条件：矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A|\neq0$；

   注解：

   1. 只有方阵才有逆矩阵的概念；
   2. 矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A|\neq0$ $\Leftrightarrow$ $A$ 满秩 $\Leftrightarrow$ 构成 $A$ 的向量均线性无关；

2. 逆矩阵的性质与重要公式
   $A,B$ 是同阶可逆矩阵，则：

   • $(A^{-1})^{-1}=A$；
   • 若 $k\neq0$，则 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$;
   • 若 $AB$ 也可逆，则 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；
   • 若 $A^T$ 也可逆，则 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$；
   • $|A^{-1}|=|A|^{-1}$；

   注解：

   1. $A,B$ 可逆，但 $A+B$ 不一定可逆，因为 $|A+B|$ 可能等于0；
   2. $(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$，因为 $|A|,|B|$ 可能等于0；

3. 求逆矩阵的方法

   • 定义法：即求一个矩阵 $B$，使 $AB=E$，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=B$；
   • 分解法：将 $A$ 分解成若干个可逆矩阵的乘积，因为两个可逆矩阵的积仍然是可逆矩阵，即若 $A=BC$，若 $B,C$ 可逆，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}$；
   • 分块法：一些简单分块矩阵的逆. 若 $A, B$ 均是可逆方阵, 则：
     $\left[\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right]$；

   注解：分块法总结一句话：主对角线上分块直接求逆，副对角线上分块求逆后交换位置；

2.4 伴随矩阵

1. 伴随矩阵的定义
   将行列式 $|A|$ 的 $n^2$ 个元素的代数余子式按如下形式排成的矩阵称为 $A$ 的伴随矩阵, 记作$A^*$, 即
   ${A}^*=\left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{m 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{m 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{mn} \end{array}\right]$

   • 且有$AA^*=A^*A=|A|E$；

   注解：

   1. 只有方阵才有伴随矩阵的概念，只要是方阵就有伴随矩阵；
   2. 伴随矩阵是由代数余子式组成的矩阵转置得到的；

2. 伴随矩阵的性质与重要公式

   • $AA^*=A^*A=|A|E$；
   • $|A^*|=|A|^{n-1}$；

   当$|A|\neq 0$时，有：

   • 的

矩阵运算规律总结

1. 数乘

   • $|kA|=k^n|A|$
   • $(kA)^{T}=kA^{T}$
   • $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
   • $(kA)^{*}$=

2. 矩阵相加

   • $|A+B|\neq |A|+|B|$；
   • $(A+B)^{T}=A^T+B^T$；
   • $(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$；
   • $(A+B)^{*}$=

3. 矩阵相乘

   • $|AB|=|A||B|$；
   • $(AB)^{T}=B^TA^T$；
   • $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；
   • $(AB)^{*}$=

4. 乘积可交换

   • $kA=Ak$；
   • $AE=EA$；
   • $AB=BA=E$；
   • $AA^*=A^*A$；