LeetCode53 最大子序和

题目描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

  
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],  
  
输出: 6  
  
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。  
  

进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

题解

方法一：动态规划

1. 状态定义：设动态规划列表 dp ，dp[i] 代表以元素 nums[i] 为结尾的连续子数组最大和。
2. 转移方程：若 dp[i-1] ≤ 0 ，说明 dp[i - 1] 对 dp[i] 产生负贡献，即 dp[i-1] + nums[i] 还不如 nums[i] 本身大。

• 当 dp[i - 1] > 0 时：执行 dp[i] = dp[i-1] + nums[i] ；
• 当 dp[i - 1] ≤ 0 时：执行 dp[i] = nums[i] ；

3. 初始状态： dp[0] = nums[0] ，即以 nums[0] 结尾的连续子数组最大和为 nums[0] 。
4. 返回值：返回 dp 列表中的最大值，代表全局最大值。

  
public int maxSubArray(int[]nums){  
int pre=0,maxAns=nums[0];  
for(int x:nums){  
pre=Math.max(pre+x,x);  
maxAns=Math.max(maxAns,pre);  
}  
return maxAns;  
}  
  

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
• 空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。

方法二：分治

1. 将数组从中间分成左右两部分，那么最大子序列和的位置只有三种情况：

• 完全位于左边数组；
• 完全位于右边数组；
• 跨越中点，左右部分都有一部分。

2. 情况 1 和情况 2 可以递归求解，情况 3 的最大和可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）相加而得到。
3. 求出三种情况的最大值即可。

  
public int maxSubArray(int[]nums){  
return get(nums,0,nums.length-1).mSum;  
}  
  
public Status get(int[]a,int l,int r){  
if(l==r){  
return new Status(a[l],a[l],a[l],a[l]);  
}  
int m=(l+r)>>1;  
Status lSub=get(a,l,m);  
Status rSub=get(a,m+1,r);  
return pushUp(lSub,rSub);  
}  
  
public Status pushUp(Status l,Status r){  
int iSum=l.iSum+r.iSum;  
int lSum=Math.max(l.lSum,l.iSum+r.lSum);  
int rSum=Math.max(r.rSum,r.iSum+l.rSum);  
int mSum=Math.max(Math.max(l.mSum,r.mSum),l.rSum+r.lSum);  
return new Status(lSum,rSum,mSum,iSum);  
}  
  
class Status {  
int lSum, rSum, mSum, iSum;  
  
public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum) {  
this.lSum = lSum;  
this.rSum = rSum;  
this.mSum = mSum;  
this.iSum = iSum;  
}  
}  
  

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 为 nums 数组的长度。分治法的递推函数 T(n) = 2 * T(n/2) + O(1)。
• 空间复杂度：O(logn)，其中 n 为 nums 数组的长度。递归深度为 O(logn)。

方法三：贪心

1. 从头开始遍历数组，用 curSum 记录当前元素位置的累加和，用 maxSum 记录全局最大和。
2. 如果 curSum > 0 ，说明 curSum 对结果有增益效果，则 curSum 保留并加上当前遍历数字；
3. 如果 curSum ≤ 0 ，说明 curSum 对结果无增益效果，需要舍弃，则 curSum 直接更新为当前遍历数字；
4. 每次比较 curSum 和 maxSum的大小，将最大值置为 maxSum ，遍历结束返回结果。

  
public int maxSubArray(int[]nums){  
int curSum=0,maxSum=nums[0];  
for(int num:nums){  
curSum=Math.max(num,curSum+num);  
maxSum=Math.max(maxSum,curSum);  
}  
return maxSum;  
}