前言
动态规划专题，从简到难通关动态规划。
每日一题
今天的题目是 213. 打家劫舍 II
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。
示例 1：
输入： nums = [2,3,2] 输出： 3 解释： 你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。
示例 2：
输入： nums = [1,2,3,1] 输出： 4 解释： 你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。 偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 3：
输入： nums = [1,2,3] 输出： 3
提示：
1 <= nums.length <= 1000 <= nums[i] <= 1000
题解
- 确定dp数组以及下标的含义
dp数组可以定义为：dp[i] 表示前 i 个房屋可以偷窃到的最高金额。
- 确定递推公式
对于第 i 个房屋，有两种情况：偷或不偷。如果偷，则可以获得金额 nums[i]，但是不能偷相邻的房屋，因此前一个房屋只能是 i-2。如果不偷，则最高金额为前 i-1 个房屋的最高金额。因此，可以得出递推公式：
dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])
注意，因为房屋是围成一圈的，因此第一个房屋和最后一个房屋不能同时偷。因此，可以分为两种情况，一种是偷第一个房屋，不偷最后一个房屋，另一种是不偷第一个房屋，偷最后一个房屋。最终的偷窃方案的最高金额就是这两种情况中的较大值。
- dp数组如何初始化
dp数组初始化为 dp[0] = nums[0]，dp[1] = max(nums[0], nums[1])
- 确定遍历顺序
遍历顺序是从前往后，最终结果为 dp[n-1]，其中 n 是房屋的数量。
- 举例推导dp[i]
假设输入数组为 [2,3,2]，则 dp 数组的值应该如下：
| i | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| nums[i] | 2 | 3 | 2 |
| dp[i] | 2 | 3 | 3 |
这里需要注意的是，因为第一个房屋和最后一个房屋是相邻的，如果偷第一个房屋，则不能偷最后一个房屋。
代码：
function rob(nums: number[]): number {
if (nums.length === 1) {
return nums[0];
}
// 偷第一个房屋，不偷最后一个房屋
const dp1 = new Array(nums.length).fill(0);
dp1[0] = nums[0];
dp1[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
for (let i = 2; i < nums.length - 1; i++) {
dp1[i] = Math.max(dp1[i - 2] + nums[i], dp1[i - 1]);
}
// 不偷第一个房屋，偷最后一个房屋
const dp2 = new Array(nums.length).fill(0);
dp2[0] = 0;
dp2[1] = nums[1];
for (let i = 2; i < nums.length; i++) {
dp2[i] = Math.max(dp2[i - 2] + nums[i], dp2[i - 1]);
}
return Math.max(dp1[nums.length - 2], dp2[nums.length - 1]);
};
