动态规划 - 198.打家劫舍

4月日新计划更文活动 第19天

前言

动态规划专题，从简到难通关动态规划。

每日一题

今天的题目是 198. 打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1] 输出： 4 解释： 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。   偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1] 输出： 12 解释： 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。   偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

题解

1. 确定dp数组以及下标的含义

用一个 dp 数组来记录偷到每个房子的最大金额，dp[i] 表示到第 i 个房子为止，能偷到的最大金额

2. 确定递推公式

其中 dp[i-2]+nums[i] 表示偷到 i 房子的最大金额，dp[i-1] 表示不偷 i 房子的最大金额。每次转移更新 dp[i]，最后返回 dp 数组的最后一个元素即可。

dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])

3. dp数组如何初始化

需要注意的是，由于不能偷相邻的房子，所以初始化时，dp[0] 和 dp[1] 应该分别表示偷第一个房子和偷第二个房子的最大金额，即：

dp[0] = nums[0]; 
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

4. 确定遍历顺序

遍历的顺序应该是从前往后遍历，因为当前的状态只依赖于前面两个状态，不依赖于后面的状态。最终返回 dp 数组的最后一个元素即可。

5. 举例推导dp[i]

i	0	1	2	3
dp[i]	2	7	11	11

代码：

function rob(nums: number[]): number {
if (nums.length === 0) return 0;
    if (nums.length === 1) return nums[0];
    if (nums.length === 2) return Math.max(nums[0], nums[1]);
    const dp = new Array(nums.length);
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
    for (let i = 2; i < nums.length; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]);
    }
    return dp[nums.length - 1];
};