数字转换（树形DP）

题目描述

如果一个数 $x$ 的约数之和 $y$（不包括他本身）比他本身小，那么 $x$ 可以变成 $y$，$y$ 也可以变成 $x$。

例如，$4$ 可以变为 $3$，$1$ 可以变为 $7$。

限定所有数字变换在不超过 $n$ 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

输入格式

输入一个正整数 $n$。

输出格式

输出不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

数据范围

$1≤n≤50000$

输入样例：

7

输出样例：

3

样例解释

一种方案为：$4→3→1→7$。

题目分析

这题的核心解题思想为 树形DP。

首先我们根据题目要求，对每一个小于等于 $n$ 的数求其约数和，并按是否合法添加无向边，边权为 $1$。

这样，我们就可以得到一个树形结构的图，由题目可知，求最多的变换次数即求这棵树的最长路径。

然后，我们便可以按照往期 树的最长路径 的解法，对每个结点求经过经过其的最长路径，并统计最优答案，主要时利用了递归回溯的思想。

由于当对当前节点 $dfs$ 时，会对经过其的子树的所有节点进行 $dfs$，所以我们可以新开一个 $st$ 数组记录本次 $dfs$ 时遍历到的节点，这样在接下来的遍历中便可以选择性遍历，保证每个节点只会被遍历一次。

最终优化后的复杂度为 $O(n)$。

Accept代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 500010;

bool st[N];
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int res;

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dfs1(int u)
{
    int x = 1;
    for (int i = 2; i <= u / i; i ++)
        if (u % i == 0) x += i + (u / i == i ? 0 : u / i);
    if (u <= x) return ;
    add(u, x);
    add(x, u);
}

int dfs2(int u, int fa)
{
    st[u] = true;
    
    int dm = 0;
    int d1 = 0, d2 = 0;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == fa) continue;
        int d = dfs2(j, u) + 1;
        dm = max(dm, d);
        if (d > d1) d2 = d1, d1 = d;
        else if (d > d2) d2 = d;
    }
    res = max(res, d1 + d2);
    return dm;
}

int main()
{
    int n; cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 2; i <= n; i ++) dfs1(i);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        if (!st[i]) dfs2(i, -1);
    cout << res;
    return 0;
}