10. 正则表达式匹配

难度：困难

题目：

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。

• '.' 匹配任意单个字符
• '*' 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

 

示例 1：

输入： s = "aa", p = "a"
输出： false
解释： "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例 2:

输入： s = "aa", p = "a*"
输出： true
解释： 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。

示例 3：

输入： s = "ab", p = ".*"
输出： true
解释： ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。

 

提示：

• 1 <= s.length <= 20
• 1 <= p.length <= 20
• s 只包含从 a-z 的小写字母。
• p 只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。
• 保证每次出现字符 * 时，前面都匹配到有效的字符

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个人思路

解法一 数组+ 有序集合模拟

思路与算法

题目中的匹配是一个「逐步匹配」的过程：我们每次从字符串 $p$ 中取出一个字符或者「字符 + 星号」的组合，并在 $s$ 中进行匹配。对于 $p$ 中一个字符而言，它只能在 $s$ 中匹配一个字符，匹配的方法具有唯一性；而对于 $p$ 中字符 + 星号的组合而言，它可以在 $s$ 中匹配任意自然数个字符，并不具有唯一性。因此我们可以考虑使用动态规划，对匹配的方案进行枚举。

我们用 $f[i][j]$ 表示 $s$ 的前 $i$ 个字符与 $p$ 中的前 $j$ 个字符是否能够匹配。在进行状态转移时，我们考虑 $p$ 的第 $j$ 个字符的匹配情况：

• 如果 $p$ 的第 $j$ 个字符是一个小写字母，那么我们必须在 $s$ 中匹配一个相同的小写字母，即

也就是说，如果 $s$ 的第 $i$ 个字符与 $p$ 的第 $j$ 个字符不相同，那么无法进行匹配；否则我们可以匹配两个字符串的最后一个字符，完整的匹配结果取决于两个字符串前面的部分。

如果 $p$ 的第 $j$ 个字符是 *，那么就表示我们可以对 $p$ 的第 $j−1$ 个字符匹配任意自然数次。在匹配 $0$ 次的情况下，我们有

也就是我们「浪费」了一个字符 + 星号的组合，没有匹配任何 $s$ 中的字符。

在匹配 1,2,3,⋯次的情况下，类似地我们有

如果我们通过这种方法进行转移，那么我们就需要枚举这个组合到底匹配了 $s$ 中的几个字符，会增导致时间复杂度增加，并且代码编写起来十分麻烦。我们不妨换个角度考虑这个问题：字母 + 星号的组合在匹配的过程中，本质上只会有两种情况：

匹配 $s$ 末尾的一个字符，将该字符扔掉，而该组合还可以继续进行匹配；

不匹配字符，将该组合扔掉，不再进行匹配。

如果按照这个角度进行思考，我们可以写出很精巧的状态转移方程：

在任意情况下，只要 p[j]p[j]p[j] 是 .，那么 p[j]p[j]p[j] 一定成功匹配 sss 中的任意一个小写字母。

最终的状态转移方程如下：

其中 $matches(x,y)$ 判断两个字符是否匹配的辅助函数。只有当 $y$ 是 . 或者 $x$ 和 $y$ 本身相同时，这两个字符才会匹配。

细节

动态规划的边界条件为 $f[0][0]=true$，即两个空字符串是可以匹配的。最终的答案即为 $f[m][n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $s$ 和 $p$ 的长度。由于大部分语言中，字符串的字符下标是从 $0$ 开始的，因此在实现上面的状态转移方程时，需要注意状态中每一维下标与实际字符下标的对应关系。

代码

class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int m = s.size();
        int n = p.size();

        auto matches = [&](int i, int j) {
            if (i == 0) {
                return false;
            }
            if (p[j - 1] == '.') {
                return true;
            }
            return s[i - 1] == p[j - 1];
        };

        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (p[j - 1] == '*') {
                    f[i][j] |= f[i][j - 2];
                    if (matches(i, j - 1)) {
                        f[i][j] |= f[i - 1][j];
                    }
                }
                else {
                    if (matches(i, j)) {
                        f[i][j] |= f[i - 1][j - 1];
                    }
                }
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};

每天记录一下做题思路。