🌹作者:云小逸
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🤟motto:要敢于一个人默默的面对自己，==强大自己才是核心==。不要等到什么都没有了，才下定决心去做。种一颗树，最好的时间是十年前，其次就是现在！学会自己和解，与过去和解，努力爱自己。==希望春天来之前，我们一起面朝大海，春暖花开！==🤟 👏专栏：C++👏 👏专栏：Java语言👏👏专栏：Linux学习👏
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前言

今天我们继续学习算法，加油。这篇文章写的是最短距离总和问题。希望这篇可以有幸帮助到你，码字不易，请多多支持。在这里插入图片描述

—————————————————————————————— 题目链接：AcWing 3512. 最短距离总和

问题描述

给定一个二维平面上的点集，找到一个点使得该点到点集中所有点的曼哈顿距离之和最小。

曼哈顿距离定义为两点在同一坐标系下横、纵坐标差的绝对值之和。

例如， $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 的曼哈顿距离为 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ 。

输入格式：

第一行包含整数 $n$ ，表示点集中的点数。

接下来 $n$ 行每行包含两个整数 $x_i$ 和 $y_i$ ，表示点集中的点的横、纵坐标。

输出格式：

输出点集中使得曼哈顿距离之和最小的点的曼哈顿距离之和。答案与标准答案误差不超过 $10^{-2}$ 即视为正确。

数据范围：

$1\leqslant n\leqslant 10^5,$ $-10^8\leqslant x_i, y_i\leqslant 10^8$

思路分析

根据曼哈顿距离的定义，我们可以将其分解为横向距离和纵向距离的绝对值之和，即 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ 。

于是问题变为了，找到一个在横坐标上的中位数和在纵坐标上的中位数，作为答案点即可。可以使用 C++ STL 中的 nth_element 函数来求解中位数。具体步骤如下：

将所有点按 x 坐标排序，并取第 n/2 个点的 x 坐标值作为中位数 $m_x$ 。
将所有点按 y 坐标排序，并取第 n/2 个点的 y 坐标值作为中位数 $m_y$ 。
构造点 $(m_x, m_y)$ ，计算该点到所有点的曼哈顿距离之和即为所求。

时间复杂度： $O(n \log n)$

C++代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], b[N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> a[i] >> b[i];

    nth_element(a, a + n / 2, a + n);
    nth_element(b, b + n / 2, b + n);

    long long res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        res += abs(a[i] - a[n / 2]) + abs(b[i] - b[n / 2]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}

总结

该问题是一个典型的求解曼哈顿距离最小的点的问题，使用中位数可以较简单地求解。因此，这道题也可以作为类似问题的模板题目进行学习和练习。

最后

十分感谢你可以耐着性子把它读完和我可以坚持写到这里，送几句话，对你，也对我：

1.把时间尺度拉长，拉长十年看当下

2.不说负面情绪，只描述事实;

3.越专注于过好自己，能量和幸运越会照顾你；只解决问题，不做没有意义的担心，输了就认；

4.学会原谅自己，要允许自己做错事,允许自己出现情绪波动，我知道你已经很努力很努力在做好了

5.所有你害怕的、想逃避的事情，最终都要面对，既然这样不如选择坦然面对。即使结果不如人愿，没关系，至少这个过程是享受的，而不是一路带着恐惧和害怕。

最后如果觉得我写的还不错，请不要忘记==点赞==✌，==收藏==✌，加==关注==✌哦(｡･ω･｡)

愿我们一起加油，奔向更美好的未来，愿我们从懵懵懂懂的一枚==菜鸟==逐渐成为==大佬==。加油，为自己点赞！

【基础算法】最短距离总和问题

前言

问题描述

思路分析

C++代码实现

总结

最后

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