前言
动态规划专题，从简到难通关动态规划。
每日一题
今天的题目是 279. 完全平方数，难度为中等
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入： n = 12
输出： 3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入： n = 13
输出： 2
解释： 13 = 4 + 9
提示：
1 <= n <= 104
题解
将题⽬换一种说法来理解，可能就会比较容易一点：完全平⽅数可以当做是物品（可以⽆限件使⽤），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少要多少物品
- 定义dp数组以及下标含义：
dp[i] 表示和为 i 的完全平方数的最少数量
- 确定递推公式
对于本题，我们需要求和为 i 的最少完全平方数的数量 dp[i]，而每个完全平方数可以表示成 j * j 的形式，其中 j 为整数。
那么对于某一个 i，我们需要寻找一个完全平方数 j * j，使得 i - j * j 之前的结果最小（即 dp[i - j * j]），然后再加上 j * j 这一个完全平方数，即可得到和为 i 的最少完全平方数的数量。因此，递推公式为：
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
其中 j 需要从 1 遍历到 Math.floor(Math.sqrt(i))，因为 j * j <= i，即 j <= Math.sqrt(i)。
- dp数组初始化
dp[0]表⽰ 和为0的完全平⽅数的最⼩数量，那么dp[0]⼀定是0。因为题目说了 从 1 开始，并不包含 0.
然后根据递推公式的含义，我们需要把dp数组的每一项都初始化为最大值，使用 Number.MAX_SAFE_INTEGER 来初始化dp数组。
- 确定遍历顺序
在完全背包当中，
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在遍历 dp 数组时，对于每一个 i，需要枚举所有小于等于它的完全平方数 j*j
- 举例推导dp数组
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| dp[i] | 0 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 |
dp[0] = 0
dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1
dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2
dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3
dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1
dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
代码：
function numSquares(n: number): number {
const dp = new Array(n + 1).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER)
dp[0] = 0
for(let i = 1; i <= n; i++) {
for(let j = 1; j * j <= i; j++) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
}
}
return dp[n]
};
