Binary String（字符串）Problem - 1680C - Codeforces 2023年4月27日纵使

原题题面

题目描述

每次给你一个 $01$ 字符串 $s$ 。

现在需要将字符串分为前中后三段（段长可为 $0$ ），每种分法都有一个消耗值，消耗值定义为前端和后端中 $1$ 的数量与中段中 $0$ 的数量的最大值。

问采用哪种分法可使消耗最小，输出这个值。

输入样例

5
101110110
1001001001001
0000111111
00000
1111

输出样例

题目分析

这个字符串题目有多种解法，接下来我们介绍三种方式。

二分法

我们依次枚举中段的左端点并固定，然后二分中段的右端点。

对于每个右端点，当其向左移动时，中段的 $0$ 数量一定呈现非递增状态，前后段的 $1$ 数量一定呈现非递减状态，而且每次移动一定会导致两者中一者的数量变化。

对此我们以将当前分法的中段 $0$ 数量和前后端的 $1$ 数量作为比较函数，直到两者差距最小的时候，二者的最大值才会最小。

最后对所有的分段最大值取最小，得到答案。

双指针法

在上述二分法的思想下，我们发现对于中段的左右端点 $l,r$ ，若仅向右移动 $l$ ，则 $1$ 的数量非递减， $0$ 的数量非递增，且 $1$ 和 $0$ 数量的相对差值变大，若要保持二者的差值最小，需要向右移动 $r$ 。

同时对 $0,1$ 数量的统计可以是：

$1$ 的数量为字符串 $1$ 的总数减去中段中 $1$ 的数量

$0$ 的数量为中段长度减去中段中 $1$ 的数量。

这样便可以只统计 $1$ 的前缀和得到两个数值。

推导优化法

在上述方法的思想下，我们对求答案的公式进行推导变化。

对于固定一个端点的中段：

$res = max(中段0数量,前后段1数量) = max(中段长度,1的总数)-中段1数量$

我们知道中段长度与中段 $1$ 数量有一定的正相关关系，且随着中段增长或缩减，中段长度的变化量大于等于中段 $1$ 数量的变化量。

当中段长度小于 $1$ 的总数时，随着中段长度的增加， $res$ 一定非递增。

当中段长度大于 $1$ 的总数时，随着中段长度的增加， $res$ 一定非递减。

可知二者相等时，答案一定最优。

因此，我们依次枚举中段的左端点，且中段长度为 $1$ 的数量，便可得到答案最优解。

Accept代码

// 双指针
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int t; cin >> t;
    while (t --)
    {
        string s; cin >> s;
        int n = s.size();
        int s0 = 0, s1 = count(s.begin(), s.end(), '1');
        int res = 2e5;
        for (int l = 0, r = -1; l < n; l ++)
        {
            while (s0 < s1 && r < n - 1)
            {
                r ++;
                if (s[r] == '0') s0 ++;
                else s1 --;
            }
            res = min(res, max(s0, s1));
            if (s[l] == '0') s0 --;
            else s1 ++;
        }
        cout << res << "\n";
    }
    return 0;
}

// 推导优化
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int t; cin >> t;
    while (t --)
    {
        string s; cin >> s;
        int n = s.size(); s = " " + s;
        vector<int> f(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            f[i] = f[i - 1] + (s[i] == '1');
        int res = 2e5;
        for (int i = f[n]; i <= n; i ++)
            res = min(res, f[n] - (f[i] - f[i - f[n]]));
        cout << res << "\n";
    }
    return 0;
}