质数筛

比赛中，我们会遇到很多判断质数的情况，那么今天我在这里来说一下一个常用的求质数的方法——质数筛（这里所有讲的算法都是基于筛出从1到n之间的素数的算法）。（以题目为例）

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题目详情

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示1∼n 中质数的个数。

数据范围

$1≤n≤10^6$

朴素筛法O($n^2$)

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N= 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    get_primes(n);

    cout << cnt << endl;

    return 0;
}

线性筛法O(n)

我们定义 $st_i$数组表示 i是否为质数，$primes_i$储存已经找到的所有质数，cnt 储存当前一共找到了多少质数。 如果当前已经枚举到了i 。如果 $st_i=1$ ，也就是 i为素数。则 $primes_{cnt+1}$=i。 然后我们每一次枚举都要做这个循环: 枚举j从1到cnt。$st_{primes_j\times i}=0$（因为$primes_j$为素数，i 就表示这个素数的多少倍，要把他筛掉）。 注意，接下来是重点！ 如果 $i\mod primes_j=0$，跳出第二层循环。(因为欧拉筛默认每一个合数只能由他的最小质因数筛去，而满足以上条件之后，$primes_j$就不是这个数字的最小质因数了，所以我们跳出第二层循环)。 因此，有了这一层优化之后，每一个合数就只能被筛掉一次了。

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1000010;

int cnt = 0,primes[N];
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i%primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    get_primes(n);
    cout<<cnt;
    return 0;
}