前言
动态规划专题，从简到难通关动态规划。
每日一题
今天的题目是 518. 零钱兑换 II，难度为中等
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1：
输入： amount = 5, coins = [1, 2, 5] 输出： 4 解释： 有四种方式可以凑成总金额： 5=5 5=2+2+1 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入： amount = 3, coins = [2] 输出： 0 解释： 只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入： amount = 10, coins = [10] 输出： 1
提示：
1 <= coins.length <= 3001 <= coins[i] <= 5000coins中的所有值 互不相同0 <= amount <= 5000
题解
完全背包
这是⼀道典型的背包问题，⼀看到钱币数量不限，就知道这是⼀个完全背包。
但本题和纯完全背包不⼀样，纯完全背包是能否凑成总⾦额，⽽本题是要求凑成总⾦额的个数
然后要注意题目中要求的是组合数，组合和排列是不同的，一个无序一个有序，比方说
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这样作为组合是一种情况，作为排列是两种情况
第一步是定义dp数组。
令 dp[i] 表示金额为 i 时的硬币组合数。
第二步是推导递推公式。
对于每个硬币面额 coin，当 coin<=i 时，有 dp[i]+=dp[i-coin]，这是因为金额为 i 时的组合数可以由金额为 i-coin 时的组合数和一个面额为 coin 的硬币组成。需要注意的是，这里的加法是组合数之间的加法，即把不同的组合数累加起来。
所以：
dp[i] += dp[i - coin];
第三步是初始化dp数组。
需要初始化 dp[0]=1，因为当金额为 0 时只有一种组合方式，即不使用任何硬币。
第四部，确定遍历顺序
这道题的遍历顺序就比较有考究了，必须是先遍历背包，在遍历物品，因为题目有提到了是组合数，如果先遍历物品的话，那么就会出现组合数的个数是不一致的。
第五步，举例dp数组
| dp | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 |
代码：
function change(amount: number, coins: number[]): number {
let dp = new Array(amount + 1).fill(0);
dp[0] = 1;
for (let coin of coins) {
for (let i = coin; i <= amount; i++) {
dp[i] += dp[i - coin];
}
}
return dp[amount];
};
