前言
动态规划专题，从简到难通关动态规划。
什么是完全背包
完全背包是一种经典的动态规划问题，它是背包问题的一种变形。在完全背包问题中，有一个容量为C的背包和n种物品，第i种物品有一个重量为wi和一个价值为vi。每种物品可以无限次地选择放入背包中，问背包能够容纳的最大价值是多少？
01背包和完全背包问题都是经典的动态规划问题，它们都是背包问题的变体。它们的主要区别在于每种物品选择次数上的限制不同。
假设背包最⼤重量为4。
| 物品编号 | 重量 | 价值 |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
01背包的核心递推公式为：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
在01背包中，对于一个物品只有选择或者不选择，所以可以根据这两个状态推断出选择方式，
在完全背包中，每种物品可以选择放入背包的次数不受限制，因此将物品1放入背包中的次数增加了，从而得到了不同于01背包问题的解。在此问题中，放入物品0、1、2可以得到背包最大价值为60。
对于完全背包来说，我们就可以去计算每一个物品的价值期望，比如说物品0的价值期望为 15/1 等于15，而物品1的价值期望为 20/3， 物品2为 30/4
那么我们还是按照动态规划五部曲来解决一下这个入门问题
- 定义dp数组
dp[i][j]表示当背包容量为j，前i个物品可以装入背包时的最大总价值。
- 推导递推公式
在状态转移时，我们需要考虑两种情况：
（1）当前不将第i个物品装入背包中，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。
（2）当前将第i个物品装入背包中，则dp[i][j] = dp[i][j-weight[i]] + value[i]；
考虑上述两种情况的转移方程，可以列出如下的状态转移方程：
if (j >= weight[i - 1]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
- 初始化数组
dp数组中初始值都是0，因为当背包容量为0或者不装入物品时，背包的总价值必须为0。
- 确定遍历顺序
在遍历dp数组时，i表示物品可以选择的数量，j表示背包容量，我们需要先枚举物品，再枚举背包容量。这样才能保证在求解物品i时，之前物品的状态已经全部被更新保存在dp数组中。
function testCompletePack(bagWeight, weight, value) {
let dp = new Array(weight.length + 1).fill().map(() => new Array(bagWeight + 1).fill(0));
for (let i = 1; i <= weight.length; i++) {
for (let j = 1; j <= bagWeight; j++) {
if (j >= weight[i - 1]) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
console.log(dp[weight.length][bagWeight]);
}
testCompletePack(4, [1, 3, 4], [15, 20, 30]); // 60
