图论——最短路径（Dijkstra 算法）今天来说一下图论里最常用的求最短路径的算法dijkstra。 Dijkstra

今天来说一下图论里最常用的求最短路径的算法dijkstra。

Dijkstra

这里以题目为例来说明（Dijkstra求最短路）

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

$1≤n≤500$ , $1≤m≤10^5$ , 图中涉及边长均不超过10000。

输入样例：

输出样例：

解题思路

首先给我们一个图，让我求从1号点到n号点的最短距离。最开始我们一定是将图存储起来，可以用邻接表或邻接矩阵来存储。根据此题给的数据范围，我们可以推断出这是一个稠密图，所以我们采用邻接矩阵的形式存储图更合适。这里我用g[N][N]来存储，最开始初始化为无穷大，然后根据输入数据存储两点之间的距离。图存完后，就开始我们的求最短路问题。

核心代码

这里的dist[N]存储每个点到点1的最短路。st[N]来记录该点最短路是否确定。dijkstra经典的两重for循环，外层是控制次数，一共n个点需要找n次最短路。内层第一个循环是枚举1-n个点，找到距离1最小且最短路没确定的点，将其确定。然后又来一层for循环，用确定的点来更新其他点的最短路。
最后判断dist[n]是否为无穷大，若是则1-n不通，否则将其输出。

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1]=0;
    
    
    for(int i=0 ; i<n; i++)
    {
        //找没确定的距离最小的点
        
        int t = -1;// 点t没有确定
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if( !st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
        }
            
        st[t] = true;
    
        //用该点更新其他点
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(dist[j] > dist[t] + g[t][j]) dist[j] = dist[t] + g[t][j];        
            
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

AC代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 510;

int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int n,m;

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1]=0;
    
    
    for(int i=0 ; i<n; i++)
    {
        //找没确定的距离最小的点
        
        int t = -1;// 点t没有确定
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if( !st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
        }
            
        st[t] = true;
    
        //用该点更新其他点
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(dist[j] > dist[t] + g[t][j]) dist[j] = dist[t] + g[t][j];        
            
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}


int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g); //初始化邻接矩阵
    while(m--)   
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        g[x][y] = min(g[x][y], z);
    }
    
    int n = dijkstra();
    cout<< n << endl;
    
    return 0;
}