题目
给定两个字符串 s 和 t，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。 示例：
输入：s = "abcde", t = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度是 3。
输入：s = "abc", t = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
动态规划的思路：
动态规划的状态定义：
dp[i][j]表示s[0:i-1]和t[0:j-1]的最长公共子序列的长度。
动态规划的状态转移：
当s[i-1] = t[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
当s[i-1] ≠ t[j-1]时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
注意，由于dp[i][j]只与dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]、dp[i][j-1]有关，所以我们可以将状态转移方程中的i-1和j-1去掉，只使用一维数组进行状态转移。
golang 代码实现
func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
m, n := len(text1), len(text2)
dp := make([]int, n+1)
for i := 1; i <= m; i++ {
pre := 0 // dp[i-1][j-1]
for j := 1; j <= n; j++ {
temp := dp[j] // dp[i-1][j]
if text1[i-1] == text2[j-1] {
dp[j] = pre + 1
} else {
dp[j] = max(dp[j], dp[j-1])
}
pre = temp
}
}
return dp[n]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
其中dp[i][j]表示text1[0:i-1]和text2[0:j-1]的最长公共子序列的长度，dp[i][j]的值可以通过dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]、dp[i][j-1]的值进行推导。因为dp[i][j]只与dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]、dp[i][j-1]有关，所以我们可以将状态转移方程中的i-1和j-1去掉，只使用一维数组进行状态转移。具体实现中，我们使用一个一维数组dp记录dp[i][j]的值，使用pre和temp变量记录dp[i-1][j-1]和dp[i-1][j]的值。
java 实现
public class LongestCommonSubsequence {
public static void main(String[] args) {
String s1 = "abcdefg";
String s2 = "aceg";
System.out.println(longestCommonSubsequence(s1, s2));
}
public static int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
int m = s1.length();
int n = s2.length();
int[][] dp = new int[m+1][n+1];
// 初始化第一行和第一列
for (int i = 0; i <= m; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 0; j <= n; j++) {
dp[0][j] = 0;
}
// 动态规划计算
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
一个二维数组 dp 来记录最长公共子序列的长度，其中 dp[i][j] 表示字符串 s1 的前 i 个字符和字符串 s2 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。在计算 dp[i][j] 时，分两种情况：
当 s1 的第 i 个字符和 s2 的第 j 个字符相同时，说明这两个字符可以构成最长公共子序列的一部分，因此 dp[i][j] 的值应该等于 dp[i-1][j-1] + 1。
当 s1 的第 i 个字符和 s2 的第 j 个字符不同时，说明这两个字符不可能同时出现在最长公共子序列中，因此 dp[i][j] 的值应该等于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 中的最大值。
最终，dp[m][n] 即为字符串 s1 和 s2 的最长公共子序列的长度。
