day106 1105. 填充书架

题目来源: 1105. 填充书架

题目描述：

• 描述: 给定一个数组 books ，其中 books[i] = [thicknessi, heighti] 表示第 i 本书的厚度和高度。你也会得到一个整数 shelfWidth 。 按顺序 将这些书摆放到总宽度为 shelfWidth 的书架上。 先选几本书放在书架上（它们的厚度之和小于等于书架的宽度 shelfWidth ），然后再建一层书架。重复这个过程，直到把所有的书都放在书架上。 需要注意的是，在上述过程的每个步骤中，摆放书的顺序与你整理好的顺序相同。 例如，如果这里有 5 本书，那么可能的一种摆放情况是：第一和第二本书放在第一层书架上，第三本书放在第二层书架上，第四和第五本书放在最后一层书架上。 每一层所摆放的书的最大高度就是这一层书架的层高，书架整体的高度为各层高之和。 以这种方式布置书架，返回书架整体可能的最小高度。
• 示例:

示例1:
输入：books = [[1,1],[2,3],[2,3],[1,1],[1,1],[1,1],[1,2]], shelfWidth = 4
输出：6

• 解释：3 层书架的高度和为 1 + 3 + 2 = 6 。第 2 本书不必放在第一层书架上。

示例2:
输入: books = [[1,3],[2,4],[3,2]], shelfWidth = 6
输出: 4

思路

思路1 根据题意，按顺序将这些书摆放到总宽度为shelfWidth 的书架上。先选几本书放在书架上，然后再建一层书架。重复这个过程，直到把所有的书都放在书架上。

考虑用「动态规划」来解决这个问题，dp[i] 来表示放下前i 本书所用的最小高度。 因为最多1000 本书， 每本书高度最大1000，我们可以把dp[i] 初始化为1000000， 初始化dp[0] 为零，表示没有书是高度为零。

当我们要放置前i 本书时候，假定前j 本书放在上面的书架上，其中j<i, 前j 本书放好后剩余的书放在最后一层书架上, 这一层书架的高度是这部分书的高度最大值，由此得到如此递推公式：dp[i]=min(dp[j]+max(books[k]))其中满足0≤j≤k<i≤n,∑books[k]≤shelfWidth 我们循环遍历i, 求出dp[i] 的值，最后返回 dp[n] 为最终答案。

具体实现1

class Solution {
    public int minHeightShelves(int[][] books, int shelfWidth) {
        int n = books.length;
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, 1000000);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int maxHeight = 0, curWidth = 0;
            for (int j = i; j >= 0; --j) {
                curWidth += books[j][0];
                if (curWidth > shelfWidth) {
                    break;
                }
                maxHeight = Math.max(maxHeight, books[j][1]);
                dp[i + 1] = Math.min(dp[i + 1], dp[j] + maxHeight);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

复杂度分析1:

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中n 是books 的长度。
• 空间复杂度：O(n)，其中n 是books 的长度。