LeetCode 搜索二维矩阵

搜索二维矩阵是一道比较经典的算法题，其主要考察的是对数组和二分查找的理解与应用。本文将会从以下几个方面，一步步剖析这道题目。

题目描述

给定一个二维矩阵，每一行都按照升序排列，每一列也按照升序排列。现在给出一个目标值，你要写一个函数来判断这个目标值是否在这个矩阵中。

例如，我们有一个二维矩阵如下：

matrix = [
  [1,   4,  7,  11, 15],
  [2,   5,  8,  12, 19],
  [3,   6,  9,  16, 22],
  [10, 13, 14,  17, 24],
  [18, 21, 23,  26, 30]
]

我们要查找的目标值为 5。那么，调用我们的函数后应该返回 true，因为矩阵中存在这个数。

解题思路

要解决这道题目，我们需要先了解一个很重要的性质——二维矩阵的某个位置有一个上界和一个下界。对于当前位置 (i,j)，可以将其与矩阵的四个角落比较大小，定义上下界的值：

上界：位于 (0,j) 的元素。
下界：位于 (i, n-1) 的元素。

其中，n 是矩阵当前行的长度。

我们可以利用上下界这个性质，来优化搜索。首先，我们考虑从矩阵的右上角出发，依次朝左或者下前进，如果遇到比目标值小的元素，则继续朝下前进；如果遇到比目标值大的元素，则继续朝左前进。如果找到了目标值，就返回 true。如果走出了矩阵，就表示找不到这个目标值，返回 false。

特别地，如果当前矩阵为空，返回 false。

接下来，我们用代码实现这个思路：

public class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            // 如果矩阵为空，返回 false
            return false;
        }
        int n = matrix[0].length;
        int i = 0, j = n - 1;
        while (i < matrix.length && j >= 0) {
            if (matrix[i][j] == target) {
                return true;
            } else if (matrix[i][j] < target) {
                i++;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return false;
    }
}

时间复杂度分析

由于我们每次可以排除一行或者一列，因此最多执行 $m+n$ 次查找操作。所以，它的时间复杂度为 $O(m+n)$ ，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。

空间复杂度分析

由于我们只需要用到若干个变量，所以它的空间复杂度为 $O(1)$ 。

总结

搜索二维矩阵是一道比较经典的算法题，它主要考察了对二维数组和二分查找的理解和应用。在实际编码过程中，我们可以利用二维数组的性质，优化算法的复杂度，减少不必要的遍历。