前言
动态规划专题，从简到难通关动态规划。
每日一题
今天的题目是 494. 目标和，难度为中等
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
- 例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加'+'，在1之前添加'-'，然后串联起来得到表达式"+2-1"。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例 1：
输入： nums = [1,1,1,1,1], target = 3 输出： 5 解释： 一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。 -1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入： nums = [1], target = 1 输出： 1
提示：
1 <= nums.length <= 200 <= nums[i] <= 10000 <= sum(nums[i]) <= 1000-1000 <= target <= 1000
题解
回溯算法
根据回溯暴力遍历的特性来解决这道题，通过遍历每一种情况，最后得到满足题目要求的情况的个数，从 nums[0] 开始，每一个数都有两个分叉，可能是加也可能是减，一直到遍历到 nums 的最后一位，再来看结果是否等于target。
function findTargetSumWays(nums, target) {
let res = 0;
let path = 0
const dfs = (index) => {
if (index === nums.length) {
if (path === target) {
res++;
}
return;
}
path += nums[index]
dfs(index + 1); // 加号操作
path = path - 2*nums[index]
dfs(index + 1); // 减号操作
path += nums[index]
}
dfs(0); // 从nums[0]开始回溯
return res;
}
动态规划
我们可以将问题转化为「选数问题」，即从给定的 nums 数组中挑选一些数字，使它们取反后的和等于 target。
定义 dp[i][j] 表示在 nums 数组的前 i 个数中选取一些数，其元素之和为 j 的方案数。则最终答案即为 dp[n][target]，其中 n 是 nums 数组的长度。
对于 nums 中的第 i 个整数 nums[i]，若需要添加正号，则有 dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]]；若需要添加负号，则有 dp[i][j] = dp[i - 1][j + nums[i]]。
最终的状态转移方程为：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]] + dp[i - 1][j + nums[i]]
这里我们要注意，因为j代表的是元素之和，所以最后的结果可能会小于0，但是在数组当中，下标是不允许小于0的，所以我们需要对j这个下标做一个映射，将他映射到一个正数上，因为题目说了和的最小值为-1000，我们可以将j的实际值映射到 j + 1000 上去，这样就能够保证j下标不会越界，下面是实现代码
function findTargetSumWays(nums, target) {
const n = nums.length;
const dp = Array(n + 1)
.fill(0)
.map(() => Array(2001).fill(0));
dp[0][nums[0] + 1000] = 1;
dp[0][-nums[0] + 1000] += 1;
for (let i = 1; i < n; i++) {
for (let j = -1000; j <= 1000; j++) {
if (dp[i - 1][j + 1000] > 0) {
dp[i][j + nums[i] + 1000] += dp[i - 1][j + 1000];
dp[i][j - nums[i] + 1000] += dp[i - 1][j + 1000];
}
}
}
return dp[n - 1][target + 1000];
}
