条件概率
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
乘法公式
P(A_1A_2……A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)……P(A_n|A_{n-1}……A_2A_1)
全概率公式，作用：分块求概率
P(A_i)>0,P(B)=\Sigma P(B|A_i)
贝叶斯公式:全概率公式反算
P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}\frac{P(B|A_i)}{P(B)}
P(A_i)先验概率P(A_i|B)后验概率
伯努利公式：
P(n_k)=C_n^kP^k*(1-P)^{n-k}
密度函数
f(x)
分布函数：
F(x)=P(X\leq x)
0-1分布：
| 1 | 0 |
|---|---|
| p | 1-p |
P(x=k)=p^k*(1-p)^{1-k}
几何分布：Geometric distribution,X \simG(P)
第k次首次发生
P(x=k)=p*(1-p)^{1-k}
二项分布：X\simB(n,p),binomial distribution
n次实验发生k次
P(x=k)=C_n^kp^k*(1-p)^{1-k}
泊松分布：
P(x=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
1、某交通路口单位时间发生的事故4、放射性物质放射粒子数5、织布机上断头的次数？3、单位面积土地生长的杂草数6、零件铸造表面一定大小面积内出现沙眼？的个数2、操作系统发生故障的次数
超几何分布：N个元素，N1个属于第一类N2个属于第二类，随机取n个，其中有X个是第一类的概率
P(x=k)=\frac{C_n^kC_N^{n-k}}{C_N^n}
均匀分布：
f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}，a\leq x\leq b\ 0， else\end{cases}
期望\frac{a+b}{2}
方差\frac{(b-a)^2}{12}
分布函数：
F(x)=\begin{cases}0\quad x<a\\frac{x-a}{b-a}，a\leq x< b\ 1， b\leq x\end{cases}
指数分布：E(\lambda)
f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} ，0< x\ 0， x\leq 0\end{cases}
x=0,f(x)=0,不是\lambda
分布函数：
f(x)=\begin{cases}1- e^{-\lambda x} ，0< x\ 0， x\leq 0\end{cases}
正态分布
正态分布：X\simN(\mu,\sigma^2),normal distribution,注意第二项是平方
重要积分：\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi,得出分布函数无穷为1
密度函数：\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma根号外面}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
分布函数：\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt
性质:
密度函数x=\mu是对称轴，\phi(\mu)最大,为\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma};
渐近线x轴
\sigma不变，\mu变，左右移动
\sigma变小，\mu不变，变陡\sigma变大，\mu不变，变缓注意面积不变
标准正态分布：\mu=0,\sigma=1
\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)
转换标准正太分布：
\phi(x)=\frac{1}{\sigma}\phi_0(\frac{x-\mu}{\sigma}),\Phi(x)=\Phi_0(\frac{x-\mu}{\sigma})
随机变量函数的分布
离散：没重复，有重复2要合起来
连续：
设f(x),y=g(x),y=g(X)
F_y(X)\rightarrow F_x(X)求导得到f_x(X)\rightarrow f_y(X)
二维随机变量函数
联合分布函数
F(x,y)=F(X\le x,Y\le y)
性质：
F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1
P{x1<X\le x2,y1<Y\le y2}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)
分布表：
1.P_{i,j}\ge02.\Sigma_i\Sigma_j P_{i,j}=1
| x\y | 1 | 2 | y的边缘分布 |
|---|---|---|---|
| 1 | a | b | a+b |
| 2 | c | d | c+d |
| x的边缘分布 | a+c | b+d | 1 |
连续形的
f(x,y)密度函数
F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(s,t)dsdt
性质：
f(x,y)>=0
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(s,t)dsdt=1
\frac{\partial F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)
P{x,y\inG}=\int\int_G f(s,t)dsdt
条件分布
P(x|A)=p(X\le x|A)
离散型条件分布
| x\y | 1 | 2 | y的边缘分布 |
|---|---|---|---|
| 1 | a | b | a+b |
| 2 | c | d | c+d |
| x的边缘分布 | a+c | b+d | 1 |
连续性条件分布
f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}
