🌹作者:云小逸
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🤟motto:要敢于一个人默默的面对自己，==强大自己才是核心==。不要等到什么都没有了，才下定决心去做。种一颗树，最好的时间是十年前，其次就是现在！学会自己和解，与过去和解，努力爱自己。==希望春天来之前，我们一起面朝大海，春暖花开！==🤟 👏专栏：C++👏 👏专栏：Java语言👏👏专栏：Linux学习👏
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前言

今天我们继续学习算法，加油。这篇文章写的是分组背包问题，使用了Dp思想。希望这篇可以有幸帮助到你，码字不易，请多多支持。在这里插入图片描述

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分组背包问题

问题描述

有 $N$ 组物品和一个容量为 $V$ 的背包，第 $i$ 组物品包含 $S_i$ 个物品，第 $j$ 个物品的体积为 $v_{i,j}$ ，价值为 $w_{i,j}$ 。每个物品只能选择一次，求解将哪些物品装入背包可以使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输入格式

第一行有两个整数N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。接下来有N组数据: 。每组数据第一行有一个整数S;，表示第i个物品组的物品数量; 。每组数据接下来有S;行，每行有两个整数 vi;, wu;i，用空格隔开，分别表示第i个物品组的第j个物品的体积和价值;

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,v≤ 100 0<S; ≤ 100 0<Uij , wij ≤100

输入样例

输出样例：

解法

分组背包问题可以看做是多个01背包问题的组合，与普通01背包不同的是，每组物品有多个可选元素，需要对每组物品进行选择。由于物品的数量和价值都有可能很大，暴力枚举每个物品的选择状态是不可行的。因此，我们需要用动态规划的方法来解决此问题。设 $f[i][j]$ 表示在前 $i$ 组物品中选取总体积不超过 $j$ 的物品的最大价值，则我们有： $f[i][j] = \max_{0 \leq k \leq S_i} { f[i-1][j-k \sum_{t=1}^k v_{i,t}] + k \sum_{t=1}^k w_{i,t}}$ 其中， $k$ 表示选取第 $i$ 组物品的 $k$ 个物品， $\sum_{t=1}^k v_{i,t}$ 表示这 $k$ 个物品的总体积， $\sum_{t=1}^k w_{i,t}$ 表示这 $k$ 个物品的总价值。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n, m;
int v[110][110], w[110][110], f[110], s[110];
int main() {
    scanf ("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        scanf ("%d", &s[i]);
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++ ) {
            scanf ("%d%d", &v[i][j], &w[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for (int j = m; j >= 1; j -- ) { //枚举所有体积
            for (int k = 1; k <= s[i]; k ++ ) { //枚举所有选择
                if(v[i][k] <= j) { //必须要满足，否则下面的下标减出来是负数
                    f[j] = max(f[j]/*不选*/, f[j - v[i][k]] + w[i][k]/*选*/);
                }
            }
        }    
    }
    printf("%d", f[m]);
    return 0;
}

时间复杂度

设 $n$ 个物品中，所有体积的最大值为 $V_{max}$ ，则对于每个物品，需要枚举 $2^{k_i}$ 种情况，时间复杂度为 $O(nV_{max}2^{k_{max}})$ ，其中 $k_{max}$ 表示 $k_i$ 的最大值。由于 $k_{max}$ 通常比较小，因此该算法的时间复杂度为 $O(nV_{max})$ 。

最后

十分感谢你可以耐着性子把它读完和我可以坚持写到这里，送几句话，对你，也对我：

1.把时间尺度拉长，拉长十年看当下

2.不说负面情绪，只描述事实;

3.越专注于过好自己，能量和幸运越会照顾你；只解决问题，不做没有意义的担心，输了就认；

4.学会原谅自己，要允许自己做错事,允许自己出现情绪波动，我知道你已经很努力很努力在做好了

5.所有你害怕的、想逃避的事情，最终都要面对，既然这样不如选择坦然面对。即使结果不如人愿，没关系，至少这个过程是享受的，而不是一路带着恐惧和害怕。

最后如果觉得我写的还不错，请不要忘记==点赞==✌，==收藏==✌，加==关注==✌哦(｡･ω･｡)

愿我们一起加油，奔向更美好的未来，愿我们从懵懵懂懂的一枚==菜鸟==逐渐成为==大佬==。加油，为自己点赞！

【基础算法】 分组背包问题

前言

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