1043. 分隔数组以得到最大和

难度：中等

题目：

给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度 最多 为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。本题所用到的测试用例会确保答案是一个 32 位整数。

 

示例 1：

输入： arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出： 84
解释： 数组变为 [15,15,15,9,10,10,10]

示例 2：

输入： arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出： 83

示例 3：

输入： arr = [1], k = 1
输出： 1

 

提示：

• 1 <= arr.length <= 500
• 0 <= arr[i] <= 109
• 1 <= k <= arr.length

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个人思路

思路与算法

解法一 动态规划

对于 arr=[1,15,7,9,2,5,10],k=3，最后一段子数组可以是 [10],[5,10],[2,5,10]（长度不能超过 k=3）。根据题意，将子数组内的元素变成子数组的最大值，例如 [2,5,10] 变成 [10,10,10]，其元素和为 30。

去掉这段子数组，例如去掉 [2,5,10]，剩余的要解决的问题是 [1,15,7,9] 在分隔变换后能够得到的元素最大和。由于这是一个和原问题相似的子问题，所以可以用递归解决。

根据上面的讨论，递归参数只需要一个 i。定义 dfs(i) 表示把 arr[0] 到 arr[i] 这段做分隔变换后能够得到的元素最大和。

枚举最后一段的子数组的开始下标 j，那么从 arr[j] 到 arr[i] 的这段子数组的所有值都要变为这段子数组的最大值，这一共有 i−j+1 个元素，对应的元素和就是

由于最后一段子数组的长度不能超过 k，所以 j 最小为 max(i−k+1,0)（注意 j 不能是负数）。

把最后一段子数组的元素和，加上 dfs(j−1) 这个子问题的结果，再取最大值，就是 dfs(i)。写成式子就是

递归边界：dfs(−1)=0。一个数都没有，元素和为 0。

递归入口：dfs(n−1)，也就是答案。

代码实现时，可以从 i 开始倒着枚举 j，一边枚举一边计算子数组的最大值，从而 O(1) 地计算出元素和。

代码

class Solution {
public:
    int maxSumAfterPartitioning(vector<int> &arr, int k) {
        function<int(int)> dfs = [&](int i) -> int {
            // i=-1 时不会进入循环
            int res = 0;
            for (int j = i, mx = 0; j > i - k && j >= 0; --j) {
                mx = max(mx, arr[j]); // 一边枚举 j，一边计算子数组的最大值
                res = max(res, dfs(j - 1) + (i - j + 1) * mx);
            }
            return res;
        };
        return dfs(arr.size() - 1);
    }
};

解法二 递归 + 记录返回值 = 记忆化搜索

上面的做法太慢了，怎么优化呢？

举个例子，「先分隔出 arr[n−1]，再分隔出 arr[n−2]（两个子数组）」和「分隔出 arr[n−2] 到 arr[n−1]（一个子数组）」，都会递归到 dfs(n−3)。

一叶知秋，整个递归中有大量重复递归调用（递归入参相同）。由于递归函数没有副作用，同样的入参无论计算多少次，算出来的结果都是一样的，因此可以用记忆化搜索来优化：

如果一个状态（递归入参）是第一次遇到，那么可以在返回前，把状态及其结果记到一个 memo 数组（或哈希表）中。 如果一个状态不是第一次遇到，那么直接返回 memo 中保存的结果。

class Solution {
public:
    int maxSumAfterPartitioning(vector<int> &arr, int k) {
        int n = arr.size(), memo[n];
        memset(memo, -1, sizeof(memo)); // -1 表示还没有计算过
        function<int(int)> dfs = [&](int i) -> int {
            if (i < 0) return 0;
            int &res = memo[i]; // 注意这里是引用，下面会直接修改 memo[i]
            if (res != -1) return res; // 之前计算过了
            for (int j = i, mx = 0; j > i - k && j >= 0; --j) {
                mx = max(mx, arr[j]); // 一边枚举 j，一边计算子数组的最大值
                res = max(res, dfs(j - 1) + (i - j + 1) * mx);
            }
            return res;
        };
        return dfs(n - 1);
    }
};

每天记录一下做题思路。